题目内容
【题目】对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。一段横截面积为S、长为l的金属电阻丝，单位体积内有n个自由电子，每一个电子电量为e。该电阻丝通有恒定电流时，两端的电势差为U，假设自由电子定向移动的速率均为v。
（1）求导线中的电流I；
（2）所谓电流做功，实质上是导线中的恒定电场对自由电荷的静电力做功。为了求解在时间t内电流做功W为多少，小红记得老师上课讲过，W＝UIt，但是不记得老师是怎样得出W＝UIt这个公式的，既然电流做功是导线中的恒定电场对自由电荷的静电力做功，那么应该先求出导线中的恒定电场的场强，即E＝
，设导体中全部电荷为q后，再求出电场力做的功
，将q代换之后，小红没有得出W＝UIt的结果。
a. 请帮助小红补充完善这个问题中电流做功的求解过程。
b. 为了更好地描述某个小区域的电流分布情况，物理学家引入了电流密度这一物理量，定义其大小为单位时间内通过单位面积的电量。若已知该导线中的电流密度为j，导线的电阻率为
，试证明： 
。
（3）由于恒定电场的作用，导体内自由电子会发生定向移动，但定向移动的速率远小于自由电子热运动的速率，而运动过程中会与导体内不动的粒子发生碰撞从而减速，因此自由电子定向移动的平均速率不随时间变化。金属电阻反映的是定向移动的自由电子与不动的粒子的碰撞。假设自由电子连续两次与不动的粒子碰撞的时间间隔平均值为t0（这个时间由自由电子热运动决定，为一确定值），碰撞后自由电子定向移动的速度全部消失，碰撞时间不计。请根据以上内容，推导证明金属电阻丝的电阻率与金属丝两端的电压无关。
【答案】（1）
（2）见解析 （3）电阻率
为定值，与电压无关。
【解析】
（1）假设在ts内，通过导线横截面的总电量为q，则：q=Vne
其中ts内，通过横截面所以电子所占体积V=Svt
所以q=Svnet
根据电流的定义，得： 
=neSv
（2）a．如图所示，根据电场强度和电势差的关系， 
所以在ts内，恒定电场对自由电荷的静电力做功
其中
，带入上式得
b．根据题意，单位时间内，通过单位面积的电荷量，称为电流密度
即： 
根据电阻定律： 
又因为
所以： 
（3）自由电子连续两次与同一个不动粒子碰撞的时间间隔为t0，碰后电子立刻停止运动。
根据动量定理由
，得
电子定向移动的平均速率为
根据电流得微观表达式
根据欧姆定律
根据电阻定律可知
故影响电阻率的因素为:单位体积的自由电子数目n,电子在恒定电场中由静止加速的平均速度t0.
