Question

12．宇航员站在一星球表面上，沿水平方向以V₀的初速度抛出一个小球，测得抛处点的高度为h，与落地点之间的水平距离为L，已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据平抛求出星球表面重力加速度，再根据重力与万有引力相等求星球的质量；再根据万有引力提供圆周运动向心力求解第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）小球在星球表面做平抛运动
水平方向有：L=V₀t
可得小球运动时间为：t=$\frac{L}{{V}_{0}}$
小球在竖直方向自由落体运动，有：h=$\frac{1}{2}$gt²
有小球在星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$=$\frac{2h{V}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
在星球表面重力与万有引力相等有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力为：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{V}^{2}}{R}$
得该星球的第一宇宙速度为：v=$\frac{{V}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
答：该星球的第一宇宙速度$\frac{{V}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．