题目内容

【题目】如图所示,竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成,AB恰与圆弧CD在C点相切,轨道固定在水平面上.一个质量为m的小物块(可视为质点)从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB,沿着轨道运动,由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点.已知水平轨道AB长为L.求:

(1)小物块与水平轨道的动摩擦因数μ.
(2)为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道,圆弧轨道的半径R至少是多大?
(3)若圆弧轨道的半径R取第(2)问计算出的最小值,增大小物块的初动能,使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处,试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上.如果能,将停在何处?如果不能,将以多大速度离开水平轨道.

【答案】
(1)

解:小物块最终停在AB的中点,在这个过程中,由动能定理得:﹣μmg(L+0.5L)=﹣E

得:μ=


(2)

解:若小物块刚好到达D处,速度为零,同理,有:﹣μmgL﹣mgR=﹣E

解得CD圆弧半径至少为:R=


(3)

解:设物块以初动能E′冲上轨道,可以达到的最大高度是1.5R,由动能定理得:

﹣μmgL﹣1.5mgR=﹣E′

解得:E′=

物块滑回C点时的动能为EC=1.5mgR= ,由于EC<μmgL= ,故物块将停在轨道上.

设到A点的距离为x,有﹣μmg(L﹣x)=﹣EC

解得:x= L

即物块最终停在水平滑道AB上,距A点 L处


【解析】(1)在小物块运动的整个过程中,重力做功为0,摩擦力做负功﹣1.5μmgL,根据动能定理求解μ.(2)小物块恰好不从轨道的D端离开轨道时,到达D点速度为零,由动能定理求出R.(3)根据动能定理求解出小物块恰好冲上最大高度1.5R时的初动能E′,物块滑回C点时的动能EC=1.5mgR,分析EC与滑块从B到A克服摩擦力做功的大小关系,即可判断物块能否停在水平轨道上.并能根据动能定理求解滑块停止在轨道何处.

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