Question

如图（a）所示，间距为L、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如下图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量未知、阻值为r，区域Ⅱ沿斜面的长度为2L，在t=t_x时刻（t_x未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g．求：
（1）ab棒进入区域Ⅱ之前cd棒上的感应电流的方向及大小
（2）ab棒进入区域Ⅱ时的速度大小及进入时刻t_x
（3）ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．

Answer 1

分析：（1）ab棒进入区域Ⅱ之前，根据cd棒处于静止，通过安培力的方向，根据左手定则判断出cd棒上的感应电流的方向．由平衡条件和安培力公式F=BIL求得感应电流I的大小；
（2）由图b图看出，t=t_x时刻ab棒恰好进入区域Ⅱ做匀速直线运动，此时cd棒仍处于静止状态，电路中感应电流不变，根据闭合电路欧姆定律和E=BLv，可求出ab棒进入区域Ⅱ时的速度v的大小．db棒进入磁场Ⅱ前做匀加速直线运动，不受安培力，根据牛顿第二定律和运动学公式结合可求出t_x．
对cd棒，根据平衡求出感应电流的大小，根据P=I²R求出当ab棒在区域II内运动时cd棒消耗的电功率．
（4）回路中感应电流是恒定的，根据焦耳定律求解热量．

解答：解：（1）cd棒处于静止状态，其受力如图，由左手定则判断知cd棒上的感应电流方向为：d到c．

对cd棒，由平衡条件，得mgsinθ=BIL  ①
解得 I=

mgsinθ

BL

（2）设ab棒以速度v进入区域Ⅱ将做匀速直线运动，由闭合回路的欧姆定律得：

BLv

R+r

=I  ②
解得 v=

mg(R+r)sinθ

B2L2

ab棒未进入区域Ⅱ时做匀加速直线运动，得  mgsinθ=ma  ③
    v=at_x ④
解得  tx=

m(R+r)

B2L2

（3）因回路中电流是恒定电流，则  Q=I2(R+r)(tx+

2L

v

)  ⑤
解得Q=

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ
答：
（1）ab棒进入区域Ⅱ之前cd棒上的感应电流的方向d到c，大小为

mgsinθ

BL

．
（2）ab棒进入区域Ⅱ时的速度大小及进入时刻t_x

m(R+r)

B2L2

．
（3）ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量为

m3g2(R+r)2sin2θ

B4L4

+2mgLsinθ．

点评：解决这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况．关键要抓住cd棒始终处于静止状态，分析受力情况是本题的突破口．