Question

如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下区域I区域Ⅱ有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．
已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t=t_x时刻（t_x未知）ab棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g．求：
（1）通过cd棒电流的方向和区域I内磁场的方向；
（2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率；
（3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离；
（4）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．

Answer 1

分析：（1）根据右手定则判断出ab棒中的电流方向，从而得出通过cd棒中的电流方向，根据cd棒处于静止，通过安培力的方向，根据左手定则判断出区域I内磁场的方向．
（2）对cd棒，根据平衡求出感应电流的大小，根据P=I²R求出当ab棒在区域II内运动时cd棒消耗的电功率．
（3）棒ab进入II区域前后回路中的电动势不变，即磁场变化产生电动势与导体切割磁感线产生电动势相等，据此求出导体棒进入II时速度大小，然后根据导体棒匀加速下滑的特点即可求出结果．
（4）回路中电流恒定，根据Q=EIt可求出结果．

解答：解：（1）通过cd棒的电流方向 d→c
区域I内磁场方向为垂直于斜面向上
（2）对cd棒，F_安=BIl=mgsinθ所以通过cd棒的电流大小I=

mgsinθ

Bl

当ab棒在区域II内运动时cd棒消耗的电功率P=I²R=

m2g2Rsin2θ

B2l2

．
（3）ab棒在到达区域II前做匀加速直线运动，a=

F合

m

=gsinθ
cd棒始终静止不动，ab棒在到达区域II前、后，回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域II中一定做匀速直线运动
可得；

△φ

△t

=Blv_t

B?2l?l

tx

=Blgsinθt _x 所以t _x=

2l gsinθ

ab棒在区域II中做匀速直线运动的速度v_t=

2glsinθ

则ab棒开始下滑的位置离EF的距离h=

1

2

a t _x²+2l=3 l
（4）ab棒在区域II中运动的时间t₂=

2l

vt

=

2l gsinθ

ab棒从开始下滑至EF的总时间t=t _x+t₂=2

2l gsinθ

 
ε=Blv_t=Bl

2glsinθ

ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量：Q=εIt=4mglsinθ
答：（1）通过cd棒的电流方向 d→c，区域I内磁场方向为垂直于斜面向上．
（2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率为

m2g2Rsin2θ

B2l2

．
（3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离为3l．
（4）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量为Bl

2glsinθ

．

点评：解决这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况．