Question

13．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动，周期为T，已知万有引力常量为G，求：
（1）该天体的质量；
（2）该天体的密度．

Answer 1

分析 （1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）根据密度的定义求解天体密度；

解答 解：（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，
有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
得M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根据$ρ=\frac{M}{V}$，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，联立解得$ρ=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）该天体的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）该天体的密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$

点评 本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题．