Question

7．在“极限”运动会中，有一个在钢索桥上的比赛项目．如图所示，总长为L=10m的均匀粗钢丝绳固定在等高的A、B处，钢丝绳最低点与固定点A、B的高度差为H₁=0.3m，动滑轮起点在A处，并可沿钢丝绳滑动，钢丝绳最低点距离水面也为H₂=3.2m．若质量为m的人抓住滑轮下方的挂钩由A点静止滑下，最远能到达右侧C点，C、B间钢丝绳相距为L′=2m，高度差为h=0.1m．若参赛者在运动过程中始终处于竖直状态，抓住滑轮的手与脚底之间的距离也为h，滑轮与钢丝绳间的摩擦力大小视为不变，且摩擦力所做功与滑过的路程成正比，不计参赛者在运动中受到的阻力、滑轮（含挂钩）的质量和大小，不考虑钢索桥的摆动及形变．g取10m/s²．求：
（1）若参赛者要达到B点，则人在A点处抓住挂钩时至少应具有的初动能；
（2）某次比赛规定参赛者须落在与钢丝绳最低点水平相距为d=2m、宽度a=1.6m，厚度不计的海绵垫子上．参赛者在A点抓住挂钩时应具有的初动能范围．

Answer 1

分析 （1）从A点静止滑下，最远能滑到C点，可知C点的速度为0．对A到C过程运用动能定理，有重力做功，摩擦力做功，动能的变化为0，求出摩擦力．对A到B运用动能定理，重力不做功，摩擦力做负功，根据动能定理求出初动能．
（2）参赛者在钢丝绳最低点脱钩后，做平抛运动，根据平抛运动的水平位移4a≤x≤5a，求出最低点的速度范围，然后对A到最低点运用动能定理，求出在A点初动能的范围．

解答 解：（1）根据动能定理，参赛者在A到C的过程中满足：mgh-F_f（L-L′）=0
则滑轮受到的阻力：F_f=$\frac{mgh}{L-L′}$=$\frac{60×10×0.1}{10-2}$N=7.5N
初动能为：E_K=F_fL=7.5×10J=75J
（2）从最底松开挂钩落到海绵垫上，所应具有的速度应为v，则：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=0.8s
最小速度为：v_min=$\frac{d}{t}$=2.5m/s
最大速度为：v_max=$\frac{d+a}{t}$=4.5m/s
根据功能关系：E_K+mgH₁-F_f•$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
得：E_kmax=$\frac{1}{2}$mv²-mgH₁+F_f$\frac{L}{2}$=465J
同理得：E_kmin=45J
故：45J＜E_k＜465J
答：
（1）若参赛者要达到B点，则人在A点处抓住挂钩时至少应具有的初动能为75J；
（2）某次比赛规定参赛者须在钢丝绳最低点水平相距为d=2m、宽度a=1.6m，厚度不计的海绵垫子上．参赛者在A点抓住挂钩时应具有的初动能范围为45J＜E_k＜465J

点评 解决本题的关键是恰当地选择研究过程，根据动能定理W_合=△E_K进行求解，要注意挖掘隐含的临界条件．