题目内容
14．
平行金属板MN和OP水平正对放置，板长为2l，板间距为l，虚线NP右侧足够大的空间有垂直纸面向里的匀强磁场．现以O为坐标原点，沿OM方向建立坐标轴oy．质量为m、电量为+q的带电粒子（不计重力）可以分别从oy轴上O、M间任意点（包含O、M两点）以相同的水平速度v0射入板间，每个粒子单独射入，每个粒子在板间运动过程中板间电压保持恒定，且认为电场只分布在两板之间的区域；射入点不同的粒子偏转电压不同，以确保从y轴上O、M间任意位置水平射入的粒子，均恰好到达P点并离开电场进入磁场．求：（1）粒子射入点坐标y与对应偏转电压U的关系式
（2）若要使从OM间任意位置射人电场的粒子经磁场后均能不与平行金属板碰撞而直接到达y轴，求磁感应强度的最大值
（3）在满足（2）的磁感应强度的最大值条件下求这些粒子从y轴上出发到再次到达y轴的最短时间．
分析 （1）偏转电场中粒子做类平抛运动，运用运动的合成和分解结合牛顿第二定律以及运动学公式，即可；
（2）找出临界情况，画出粒子轨迹过程图，根据类平抛过程求出进入磁场时的速度大小和方向，粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力与临界几何关系联立即可；
（3）根据水平方向速度不变可知，所有粒子在电场中的运动时间和离开磁场到再次到达y轴的时间均相等，只要磁场中运动的时间最短即可，所以粒子水平向右入射磁场，转半个圆周所用时间最短，将三段时间加和即可．
解答 
解：（1）设粒子射入点坐标为y时对应的电压为U，场强为E，在电场中的时间为t，加速度为a，则在电场中有：
2l=v0t ①
y=$\frac{1}{2}$at2 ②
Eq=ma ③
E=$\frac{U}{l}$ ④
联立①②③④式得：y=$\frac{2qlU}{m{v}_{0}^{2}}$
（2）设粒子射入点坐标为y时，到达P点的速度v，竖直分速度为vy，速度偏角为α，
则：vcosα=v0 ⑥
vy=at ⑦
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$ ⑧
联立①③④⑥⑦⑧式得：
tanα=$\frac{2qU}{m{v}_{0}^{2}}$ ⑨
设磁场的磁感应强度为B时，在磁场中做圆周运动的半径为R
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ⑩
设则该粒子从磁场边界的Q点射出，由几何关系得
PQ=2Rcosα⑪
联立⑥⑩⑪式得：
PQ=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$⑫
则从O、M之间任意点射入的粒子，都会到达Q点．
由⑤⑨式可知：到达Q点的粒子在水平向左及斜向左下方450的范围内，且水平分速度均为v0，故要使所有粒子都达到y轴，由几何关系知：
QN≥2l⑬
联立⑩⑫⑬得：
B≤$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$⑭
故磁感应强度的最大值为$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$
（3）分析可知，所有粒子在电场中的运动时间t1和离开磁场到再次到达y轴的时间t3均相等，且
t1=t3=$\frac{2l}{{v}_{0}}$⑮
在磁场中运动的时间：t2=$\frac{π+2α}{2π}T$⑯
由T=$\frac{2πR}{v}$⑰
联立⑩⑯⑰式得：
t2min=$\frac{3πl}{2{v}_{0}}$⑱
故粒子从y轴上出发到再次到达y轴的最短时间：
tmin=t1+t2min+t3=$\frac{（8+3π）l}{{2v}_{0}}$
答：（1）粒子射入点坐标y与对应偏转电压U的关系式为y=$\frac{2qlU}{m{v}_{0}^{2}}$；
（2）若要使从OM间任意位置射人电场的粒子经磁场后均能不与平行金属板碰撞而直接到达y轴，求磁感应强度的最大值为$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$；
（3）在满足（2）的磁感应强度的最大值条件下求这些粒子从y轴上出发到再次到达y轴的最短时间为$\frac{（8+3π）l}{{2v}_{0}}$．
点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，画出粒子轨迹过程图，根据其运动形式选择合适的规律解决；偏转电场中粒子做类平抛运动，运用运动的合成和分解结合牛顿第二定律以及运动学公式；磁场中粒子做匀速圆周运动，运用洛伦兹力提供向心力与几何关系联立的方法；注意分析从电场进入磁场时衔接点的速度大小和方向．
能力评价系列答案
1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点．若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动．由于这五个点的特殊性，已经成为各个航天大国深空探测所争夺的地方．2012年8月25日23时27分，经过77天的飞行，“嫦娥二号”在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里的拉格朗日L2点，下列说法正确的是（ ）| A． | “嫦娥二号”绕太阳运动周期和地球自转周期相等 | |
| B． | “嫦娥二号”在L2点处于平衡状态 | |
| C． | “嫦娥二号”绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度 | |
| D． | “嫦娥二号”在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小 |
如图所示，三根抗拉能力相同的轻细绳1、2、3将一重物悬挂在水平天花板上，P、Q两点为绳子与天花板的结点，绳子1、2与天花板的夹角分别为60°和30°，其拉力大小分别为F1、F2，重物重力为G，下列说法正确的是（ ）| A． | 绳子2的拉力F2=$\sqrt{3}$F1 | |
| B． | 绳子2的拉力F2=2G | |
| C． | 若逐渐增大重物重力，绳子3先断 | |
| D． | 若缓慢增大P、Q两点间距，F1、F2的合力增大 |
如图所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直．则（ ）| A． | B点的场强大小为E-k$\frac{Q}{{r}^{2}}$ | B． | A点的场强大小为$\sqrt{{E}^{2}+{K}^{2}\frac{{Q}^{2}}{{r}^{4}}}$ | ||
| C． | D点的场强大小不可能为0 | D． | A、C两点的场强相同 |
如图所示，实线为某电场的电场线，虚线为某一带负电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，M、N为运动轨迹上两点，下列说法中正确的是（ ）| A． | 该粒子在M点的动能一定小于在N点的动能 | |
| B． | 该粒子在M点的电势能一定小于在N点的电势能 | |
| C． | M点的电势一定高于N点的电势 | |
| D． | 该粒子在M点的加速度一定大于在N点的加速度 |
如图所示，质量为m=0.2kg可看作质点的小物块静止放在半径r=0.8m的水平圆盘边缘上A处，圆盘由特殊材料制成，其与物块的动摩擦因数为μ1=2，倾角为θ=37°的斜面轨道与水平轨道光滑连接于C点，小物块与斜面轨道和水平轨道存在摩擦，动摩擦因数均为μ2=0.4，斜面轨道长度LBC=0.75m，C与竖直圆轨道最低点D处的距离为LCD=0.525m，圆轨道光滑，其半径R=0.5m．开始圆盘静止，后在电动机的带动下绕轴转动，在圆盘加速转动到某时刻时物块被圆盘沿纸面水平方向甩出（此时圆心O与A连线垂直纸面），后恰好切入斜面轨道B处后沿斜面方向做直线运动，经C处运动至D，在D处进入竖直平面圆轨道，绕过圆轨道后沿水平轨 道向右运动．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s2）试求：
如图所示，甲、乙两车的质量均为M，静置在光滑的水平面上，两车相距为L，乙车上站立着一个质量为m的人，他通过一条水平轻绳用恒定的拉力F拉甲车直到两车相碰，在此过程中（ ）| A． | 甲、乙两车运动过程中的速度之比为（M+m）：M | |
| B． | 甲车移动的距离为$\frac{M+m}{2M+m}L$ | |
| C． | 此过程中人拉绳所做功为FL | |
| D． | 此过程中人拉绳所做功为$\frac{M+m}{2M+m}FL$ |
在如图所示的光电效应的实验中，发现用一定频率的单色光A照射光电管时，电流表指针会发生偏转，而用另一频率的单色光B照射时不发生光电效应，则下列说法正确的是（ ）| A． | 增大B光光强，电流表指针可能发生偏转 | |
| B． | 延长B光照时间，电流表指针可能发生偏转 | |
| C． | 用A光照射光电管时流过电流表G的电流方向是a流向b | |
| D． | 用B光照射光电管时，增大电源电压电流表指针一定发生偏转 |
图示是观察水面波衍射的实验装置，AC和BD是两块档板，AB是一个孔，O是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间的距离表示一个波长．关于波经过孔之后的传播情况，下列说法正确的是（ ）| A． | 此时不能观察到波的衍射现象 | |
| B． | 水面波经过挡板前后波纹间距不变 | |
| C． | 若将孔AB缩小，则有可能观察不到明显的衍射现象 | |
| D． | 若孔的大小不变，使波源频率增大，则能更明显地观察到波的衍射现象 |