Question

如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2l，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板l处有一固定档板，长为l的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小球，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔（不与金属板A接触）后与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开弹簧的瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与弹簧接触时小球电荷量的

1

k

（k＞1）．
（1）小球第一次接触薄板Q后，则弹簧的弹性势能多大；
（2）假设小球被第N次弹回两板间后向右运动的最远处恰好到达B板，小球从开始运动到被第N次弹回两板间向右运动到达B板的总时间．

Answer 1

分析：（1）小球在电场力作用下由静止开始向左运动，对于从小球开始释放到压缩弹簧到最短的过程，运用功能关系列式求解弹簧的弹性势能最大值．
（2）根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求解第一次接触Q时的速度大小．小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间包括两部分，一部分是小球从接触Q开始，经历时间T₀第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回，另一部分是离开Q向右做减速运动的过程．根据运动学公式进行求小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间T_N的表达式，再求总时间．

解答：解：（1）对于从小球开始释放到压缩弹簧到最短的过程，根据功能关系得：
E_p=qEl．
（2）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a．
根据牛顿第二定律有：qE=ma
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v²=2al
联立解得：v=

2qEL m

小球每次离开Q的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小为：
v=

2qEL m

设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为a_n，速度由v减为零
所需时间为t_n，小球离开Q所带电荷量为q_n，则有：
q_nE=ma_n 
t_n=

v

an

q_n=

q

kn

联立解得：t_n=

mv

qE

kn
小球从第N次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间为：
T_n=2T₀+

2ml qE

k^N，
故小球从开始运动到被第N次弹回两板间向右运动到达B板的总时间为：
T=T₁+T₂+…T_N=2NT0+

2ml qE

(1+2k+2k2+2k3+…+2kN-1+kN)
答：（1）小球第一次接触薄板Q后，则弹簧的弹性势能为qEl；
（2）假设小球被第N次弹回两板间后向右运动的最远处恰好到达B板，小球从开始运动到被第N次弹回两板间向右运动到达B板的总时间为2NT0+

2ml qE

(1+2k+2k2+2k3+…+2kN-1+kN)．

点评：了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．要注意小球运动过程中各个物理量的变化．