Question

11．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一斜坡上，从P点以v₀水平抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上的另一点Q，已知斜坡倾角为θ，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系，结合运动学公式求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度公式求出星球的密度．

解答 解：（1）根据$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$ 得：星球表面的重力加速度g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）根据万有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$．
则星球的密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πRtG}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$；
（2）该星球的密度ρ为$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πRtG}$．

点评 本题考查了万有引力定律和平抛运动的综合运用，通过平抛运动规律求出星球表面重力加速度是解决本题的关键．