Question

20．试推导人造地球卫星的第一宇宙速度（即环绕速度）．已知：地球半径为R，质量为M，地球表面附近的重力加速度为g，万有引力常量为G．

Answer 1

分析 卫星绕地球表面运行，即卫星轨道半径等于地球半径时的速度是地球的第一宇宙速度；
卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，
由万有引力公式及向心力公式列方程，可以求出地球的第一宇宙．

解答 解：设卫星的质量是m，
地球的第一宇宙速度是v，
由牛顿第二定律可得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
因地球表面附近的重力加速度为g，万有引力常量为G．
由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
那么v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$；
答：人造地球卫星的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，或$\sqrt{gR}$．

点评 本题考查了求地球的第一宇宙速度，知道第一宇宙速度的概念、熟练应用万有引力公式及向心力公式即可正确解题．