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（2012?蚌埠模拟）经过观察，科学家在宇宙中发现了许多孤立的双星系统．若双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距为L（远大于星体半径），它们正绕两者连线的中点做圆周运动．
①试计算双星系统中的运动周期T计算；
②若实际观察到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：
N+1
（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前理论认为，宇宙中可能存在观察不到的暗物质，假定有一部分暗物质对双星运动产生影响，该部分物质的作用等效于暗物质集中在双星的连线的中点，试证明暗物质的质量M′与星体的质量M之比为 M′：M=N：4．
分析：（1）双星绕两者连线的中点做圆周运动，由相互之间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，由暗物质对双星的作用与双星之间的万有引力的合力提供双星的向心力，再由牛顿第二定律求解周期T′．
解答：解：（1）以双星系统中任一星球为研究对象，根据牛顿第二定律得
GM2
L2
=M
4π2
T2
?
L
2

得到 T算=
2π2L3
GM

（2）设暗物质的总质量为m，由牛顿第二定律得
GM2
L2
+
GMM′
(
L
2
)2
=M
4π2
T
2
测
?
L
2

解得：T测=
2π2L3
GM+4GM′

故：
T测
T算
=
GM
GM+4GM′
=
M
M+4M′
=
1
1+
4M′
M

若：T观测：T计算=1：
N+1
（N＞1），则：N=
4M′
M
即：M′：M=N：4．
答：（1）该双星系统的运动周期 T算=
2π2L3
GM
 
    （2）略
点评：本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究．
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