Question

6．如图所示，垂直纸面的两平行金属板M、N之间加有电压，M板上O₁处有一粒子源，可不断产生初速度为零的带正电粒子，粒子电荷量为q，质量为m，N板右侧是一半径为R的接地金属圆筒，圆筒垂直于纸面且可绕中心轴逆时针转动．O₂为N板上正对O₁的小孔，O₃、O₄为圆筒某一直径两端的小孔，开始时O₁、O₂、O₃、O₄在同一水平线上．在圆简上方垂直纸面放置一荧光屏，荧光屏与直线O₁O₂平行，圆筒转轴到荧光屏的距离OP=3R．不计粒子重力及粒子间相互作用．
（1）若圆筒静止且圆筒内不加磁场，粒子通过圆筒的时间为t，求金属板MN上所加电压U；
（2）若圆筒内加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆筒绕中心轴以某一角速度逆时针方向匀速转动，调节MN间的电压使粒子持续不断地以不同速度从小孔O₂射出电场，经足够长的时间，有的粒子打到圆筒上被吸收，有的通过圆筒打到荧光屏上产生亮斑．如果在荧光屏PQ范围内的任意位置均会出现亮斑，PQ=$\sqrt{3}$R．求粒子到达荧光屏时的速度大小v的范围；
（3）在第（2）问情境中，若要使进入圆筒的粒子均能从圆筒射出来，求圆筒转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）对直线加速过程运用动能定理列式；对穿过圆筒过程根据速度公式列式；最后联立求解．
（2）荧光屏PQ范围内的任意位置均会出现亮斑，说明PQ范围内均有粒子到达，最小速度v₁的粒子到达P点，最大速度v₂的粒子达到Q点；画出轨迹，根据几何关系求解半径，然后根据牛顿第二定律列式求解两个临界速度；
（3）先画出磁偏转的轨迹，求解磁偏转过程的时间，在结合等时性求解圆筒的角速度，得到一般表达式后讨论即可．

解答 解：（1）粒子经电场加速，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv² ①
进入圆筒中的粒子有：
t=$\frac{2R}{v}$   ②
由①②得：
U=$\frac{2m{R}^{2}}{q{t}^{2}}$ ③
（2）荧光屏PQ范围内的任意位置均会出现亮斑，说明PQ范围内均有粒子到达，最小速度v₁的粒子到达P点，最大速度v₂的粒子达到Q点，从PQ间射出的粒子的速度应该含有v₁到v₂范围内的任意值．
在圆筒中，由牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
打到荧光屏上P点的粒子速度：
r₁=R     ⑤
由④⑤得，到达P点的粒子速度：
v₁=$\frac{qBR}{m}$  ⑥
如图由几何关系知到达Q点的粒子穿过圆筒的偏角：
α=60° ⑦
到达Q点的粒子应该满足：
r₂=Rtan60° ⑧
到达Q点的粒子速度：
v₂=$\frac{qB{r}_{2}}{m}$   ⑨
到达荧光屏的粒子速度大小v的范围：$\frac{qBR}{m}$≤v≤$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
（3）设粒子穿过圆筒的偏转角为β，则粒子穿过圆筒的时间：
△t=$\frac{β}{2π}$T
又T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子穿出圆筒应满足：
ω•△t=β+kπ （k取0，1，2，3…）
ω=（1+$\frac{kπ}{β}$）$\frac{qB}{m}$（k取0，1，2，3…）
粒子速度不同，β不同，要使不同速度的粒子穿过以某一角速度匀速转动的圆筒应该满足：
k=0
即ω=$\frac{qB}{m}$
答：（1）金属板MN上所加电压U为$\frac{2m{R}^{2}}{q{t}^{2}}$；
（2）粒子到达荧光屏时的速度大小v的范围为：$\frac{qBR}{m}$≤v≤$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$；
（3）在第（2）问情境中，若要使进入圆筒的粒子均能从圆筒射出来，圆筒转动的角速度ω为$\frac{qB}{m}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出临界轨迹，根据牛顿第二定律并结合几何关系列式分析，不难．