Question

如图所示，有水平边界的匀强磁场的磁感应强度为B，下方磁场无限大．一个质量为m、边长为L、总电阻为R的正方形导线框abcd，从磁场上方某处由静止开始下落．ab边刚进入磁场时，线框速度的大小为V₁．下落过程中，线框平面始终保持在同一个竖直面内，ab边与磁场的水平边界线平行．在线框运动过程中，不计空气阻力．重力加速度大小为g，求：
（1）线框ab边距磁场上边界距离h
（2）线框ab边刚进入磁场时，线框中感应电流的大小和方向
（3）若线框cd边刚要进入磁场时，线框的加速度大小为

g

4

，方向竖直向下，试求此时线框速度V₂的大小，并计算线框进入磁场过程中的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）线框自由下落的过程机械能守恒，则可求出高度h．
（2）线框ab边刚进入磁场时，由E=BIL、I=

E

R

，即可求出感应电流的大小，根据右手定则判断感应电流的方向．
（3）若线框cd边刚要进入磁场时，线框的加速度大小为

g

4

，方向竖直向下，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系式，列式求出此时线框速度V₂的大小．
线框从开始下落到ab刚进入磁场时，线框的重力势能减小mg（h+L），转化为线框的动能和内能，根据能量守恒定律可求得线框在进入磁场的过程中产生的热量

解答：解：（1）线框cd边进入磁场时速度为V₁，由机械能守恒有：mgh=

1

2

mV

2 1

则得：h=

V 2 1

2g

（2）线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势 E=BLV₁，
感应电流为：I=

E

R

得：I=

BLV1

R

根据右手定则得，感应电流的方向是a→b→c→d→a
（3）线框cd边刚要进入磁场时，根据牛顿第二定律得：
mg-

B2L2V2

R

=ma，
由题意 a=

g

4

，
解得：V₂=

3mgR

4B2L2

又由能量守恒得：mgL=Q+

m V 2 2

2

-

m V 2 1

2

则得，线框进入磁场过程中的焦耳热：Q=mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

答：（1）线框ab边距磁场上边界距离h为

V 2 1

2g

．
（2）线框ab边刚进入磁场时，线框中感应电流的大小为

BLV1

R

，方向是a→b→c→d→a．
（3）此时线框速度V₂的大小为

3mgR

4B2L2

，线框进入磁场过程中的焦耳热为mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，安培力是联系电磁感应和力学的桥梁，安培力的分析和计算是这类问题的关键．