题目内容
如图所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L=0.5m，导轨沿与水平方向成θ=30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R=3Ω的电阻．现将一根长也为L=0.5m质量为m=0.2kg、电阻r=2Ω的均匀金属棒，自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，下滑中均保持与轨道垂直并接触良好，经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀强磁场中，如图所示．磁场上部有边界OP，下部无边界，磁感应强度B=2T．金属棒进入磁场后又运动了一段距离便开始做匀速直线运动，在做匀速直线运动之前这段时间内，金属棒上产生了Qr=2.4J的热量，且通过电阻R上的电荷量为q=0.6C，取g=10m/s2．求：（1）金属棒匀速运动时的速v0；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，其加速度a的大小及方向；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S．
分析：匀速运动时，金属棒受到重力、支持力和安培力作用．安培力与速度有关，根据平衡条件可求出速度．根据牛顿第二定律求出加速度．金属棒自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，其重力势能转化为动能和内能，根据能量守恒定律求得距离S．
解答：解：（1）根据平衡条件得F安=mgsinθ
又F安=BIL，I=
，E=BLv0
得到F安=
联立解得
v0=
=5m/s
（2）由牛顿第二定律，得
mgsinθ-F安=ma
得到a=gsinθ-
=-1m/s2
说明此时加速度大小为1m/s2，方向沿斜面向上．
（3）由于金属棒r和电阻R上电流时刻相同，由焦耳定律Q=I2Rt，得知Q∝R
则R产生的热量为QR=
Qr=3.6J
金属棒匀速运动整个电路产生的总热量Q=QR+Qr=6J
在该过程中电路的平均电流为I=
=
设匀速前金属棒在磁场中位移为x，则此过程中通过R的电量为q=I?△t=
=
从释放到刚匀速运动过程中，由能量守恒定律得
mgsinθ（S+x）=
m
+Q
联立上式，解得S=
-
=5.5m
答：（1）金属棒匀速运动时的速v0为5m/s；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，加速度大小为1m/s2，方向沿斜面向上；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S为5.5m．
又F安=BIL，I=
| E |
| R+r |
得到F安=
| B2L2v0 |
| R+r |
联立解得
v0=
| mg(R+r)sinθ |
| B2L2 |
（2）由牛顿第二定律，得
mgsinθ-F安=ma
得到a=gsinθ-
| B2L2v |
| m(R+r) |
说明此时加速度大小为1m/s2，方向沿斜面向上．
（3）由于金属棒r和电阻R上电流时刻相同，由焦耳定律Q=I2Rt，得知Q∝R
则R产生的热量为QR=
| R |
| r |
金属棒匀速运动整个电路产生的总热量Q=QR+Qr=6J
在该过程中电路的平均电流为I=
| E |
| R+r |
| △φ |
| △t(R+r) |
设匀速前金属棒在磁场中位移为x，则此过程中通过R的电量为q=I?△t=
| △φ |
| R+r |
| BLx |
| R+r |
从释放到刚匀速运动过程中，由能量守恒定律得
mgsinθ（S+x）=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
联立上式，解得S=
m
| ||
| 2mgsinθ |
| q(R+r) |
| BL |
答：（1）金属棒匀速运动时的速v0为5m/s；
（2）金属棒进入磁场后，当速度v=6m/s时，加速度大小为1m/s2，方向沿斜面向上；
（3）磁场的上部边界OP距导轨顶部的距离S为5.5m．
点评：本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题在于安培力的分析和计算．涉及热量常常从能量守恒研究．
练习册系列答案
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.物块与斜面间动摩擦因素
，
，
，
