题目内容
如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=
m，板间距d=0.10m，在金属板右侧有一范围足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直．在t=0时刻，两金属板间加如图乙所示的正弦交变电压，匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10-2T．现从t=0开始，从两极板左侧的中点O以每秒钟1000个的数量不间断地释放出某种正电荷，这种带正电的粒子均以v0=
×105m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，经电场后射入磁场．已知带电粒子的比荷
=1.25×107C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的相互作用．求：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离（结果保留两位有效数字）；
（2）每秒钟有多少个带正电的粒子进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间为多少？（π≈3）
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
| q |
| m |
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离（结果保留两位有效数字）；
（2）每秒钟有多少个带正电的粒子进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间为多少？（π≈3）
分析：（1）t=0时刻，电压为0，故粒子在电场中不会发生偏转，由洛仑兹力充当向心力公式可得出粒子的偏转半径；由几何关系可得出入射点与出射点间的距离；
（2）随着电压的增大，粒子的偏转位移也增大；则能穿出电场的临界条件是粒子恰好打在板的最右端；由类平抛运动的规律可求得临界电压；由图可求得能进入磁场的粒子个数；
（3）要使粒子运动时间最长，则粒子在磁场中转过的圆心角应最大；由几何关系可得粒子在磁场中的圆心角，从而求出最长时间．
（2）随着电压的增大，粒子的偏转位移也增大；则能穿出电场的临界条件是粒子恰好打在板的最右端；由类平抛运动的规律可求得临界电压；由图可求得能进入磁场的粒子个数；
（3）要使粒子运动时间最长，则粒子在磁场中转过的圆心角应最大；由几何关系可得粒子在磁场中的圆心角，从而求出最长时间．
解答：
解：（1）t=0时，UAB=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，由qvB=m
得 r=
①
射入和射出磁场时，两点间的距离为s=2r ②
由①②可得s=1.4m ③
（2）设：当两极板电压为u时，由O点射入的粒子刚好从板的边缘进入磁场，则有
d=
at2④
qE=ma⑤，
E=
⑥
t=
⑦
由④⑤⑥⑦式得：U=
，代入数据得：U=200V ⑧
由乙图可知，在每周期内只有0～
T0，
T0～
T0，
T0～T0，时间段内由O射入的粒子才能通过电场而进入磁场，即只有一半的时间内有粒子能进入磁场，所以每秒钟有500个粒子进入磁场．
（3）只有当A板电势高于B板电势，且沿B板右侧边缘进入磁场的粒子，由于在电场中的偏转角最大，使得其在磁场中做圆周运动对应的圆心角最大，故在磁场中运动的时间最长，如图所示．即t=(n+
)T0，（n=0，1，2，3，…）⑨
或t=(n+
)T0，（n=0，1，2，3，…）⑩
这些时刻入射的粒子在磁场中运动的时间最长．
由带电粒子在电场中做类平抛运动的特点可得tanθ=
=
，θ=30° （11）
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，所求的最长时间为t′，则有T=
（12）
由几何关系得粒子在磁场中运动的圆心角240°，
则 t′=
T（13）
由（12）（13）式代入数据得t′=3.2×10-5s
答：（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离为1.4m；
（2）每秒钟有500个带正电的粒子进入磁场；
（3）t=(n+
)T0或t=(n+
)T0时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，
最长时间为3.2×10-5s．
解：（1）t=0时，UAB=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，由qvB=m
| ||
| r |
得 r=
| mv0 |
| qB |
射入和射出磁场时，两点间的距离为s=2r ②
由①②可得s=1.4m ③
（2）设：当两极板电压为u时，由O点射入的粒子刚好从板的边缘进入磁场，则有
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
qE=ma⑤，
E=
| u |
| d |
t=
| l |
| v0 |
由④⑤⑥⑦式得：U=
md2
| ||
| ql2 |
由乙图可知，在每周期内只有0～
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
（3）只有当A板电势高于B板电势，且沿B板右侧边缘进入磁场的粒子，由于在电场中的偏转角最大，使得其在磁场中做圆周运动对应的圆心角最大，故在磁场中运动的时间最长，如图所示．即t=(n+
| 1 |
| 8 |
或t=(n+
| 3 |
| 8 |
这些时刻入射的粒子在磁场中运动的时间最长．
由带电粒子在电场中做类平抛运动的特点可得tanθ=
| ||
|
| ||
| 3 |
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，所求的最长时间为t′，则有T=
| 2πm |
| qB |
由几何关系得粒子在磁场中运动的圆心角240°，
则 t′=
| 2 |
| 3 |
由（12）（13）式代入数据得t′=3.2×10-5s
答：（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离为1.4m；
（2）每秒钟有500个带正电的粒子进入磁场；
（3）t=(n+
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
最长时间为3.2×10-5s．
点评：本题应注意题意中给出的条件，在粒子穿出电场的时间极短，电压看作不变；同时要注意带电粒子在磁场中的偏转类题目一定要找清几何关系．
练习册系列答案
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．