Question

6．如图所示，质量分别为m₁，m₂的光滑小球放在上表面光滑的半球上，受到在用一平面内长分别为l₁，l₂的轻绳的牵引（已知l₁，l₂与O′O的夹角分别为α和β，且α＞β），在半球球心O点正上方的转盘O′的带动下做匀速圆周运动，为使两球都不离开半球，求转盘O′转动的角速度．

Answer 1

分析 设当转盘的角速度为ω₁时，小球m₁与半球的作用力刚好为零，则对小球m₁由牛顿第二定律求出ω₁，同理求出ω₂，根据几何关系判断ω₁和ω₂的大小关系，从而求解为使两球都不离开半球，转盘的转动角速度的范围．

解答 解：设当转盘的角速度为ω₁时，小球m₁与半球的作用力刚好为零，则对小球m₁由牛顿第二定律得：
${m}_{1}gtanα={m}_{1}{l}_{1}{{ω}_{1}}^{2}sinα$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
设当转盘的角速度为ω₂时，小球m₂与半球的作用力刚好为零，则对小球m₂由牛顿第二定律得：
${m}_{2}gtanβ={m}_{2}{l}_{2}{{ω}_{2}}^{2}sinβ$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{2}cosβ}}$
由于α＞β，由几何知识可知，l₁cosα＞l₂cosβ，所以ω₁＜ω₂
故为使两球都不离开半球，转盘的转动角速度ω≤ω₁，即$ω≤\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
答：转盘O′转动的角速度应小于等于$\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$．

点评 本题的关键是根据牛顿第二定律求出两个小球刚好不离开半球的临界状态，知道当小球与半球的作用力刚好为零时，刚好不离开，并能结合几何关系求解，难度适中．