Question

10．一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B球的质量为m，求：
（1）细绳对B球的拉力；
（2）A球的质量；
（3）若剪断细绳，B球第一次过圆环最低点时对圆环的作用力．

Answer 1

分析 （1、2）对球受力分析，根据小球受力平衡可以求得绳的拉力的大小和A球的质量；
（3）B球做的事圆周运动，由机械能守恒可以求得球的速度的大小，由向心力的公式可以求得作用力的大小．

解答 解：（1、2）对B球，受力分析如图所示

Tsin30°=mg　    
解得 T=2mg　　　　①
对A球，受力分析如图所示．在水平方向
Tcos30°=N_Asin30°　　　　②
在竖直方向：N_Acos30°=m_Ag+Tsin30° 　　③
由以上方程解得：m_A=2m    　　　　　　　④
所以细绳对B球的拉力为2mg，A球的质量为2m．
设B球第一次过圆环最低点时的速度为v，压力为N，圆环半径为r．
则：mgr=$\frac{1}{2}$mv²        ⑥
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$     ⑦
⑥⑦联解得：N=3mg
由牛顿第三定律得B球对圆环的压力　N′=N=3mg　方向竖直向下．
答：（1）细绳对B球的拉力为2mg；
（2）A球的质量为2m；
（3）若剪断细绳，B球第一次过圆环最低点时对圆环的作用力为3N，方向竖直向下．

点评 物体处于受力平衡状态，对物体受力分析是本题的关键，剪短绳之后球做的是圆周运动，由向心力的公式分析即可求得力的大小．