Question

（2013?天津三模）如图所示，在xoy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xoy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v₀，在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=

3m v 2 0

2qd

，其中q与m分别为α粒子的电量和质量；在d＜y＜2d的区域内分布有垂直于xoy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界．ab为一块很大的平面感光板垂直于xoy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示．观察发现此时恰好无粒子打到ab板上．（不考虑α粒子的重力及粒子间的相互作用），求：
（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的动能．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答：解：（1）根据动能定理：Eqd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

可得：v=2v₀
初速度方向与x轴平行的粒子通过边界mn时距y轴最远，由类平抛知识：d=

1

2

at2Eq=max=v₀t解得：x=

2 3

3

d
（2）根据上题结果可知：，
对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方  向夹角：θ=

π

3

易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，可得其圆周运动的半径：r=

2

3

d
又根据洛伦兹力提供向心力：Bqv=

mv2

r

可得：B=

3mv0

qd

（3）由分析可知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．    
由分析可知此时磁场宽度为原来的

1

3

，
则：ab板至少向下移动：△y=

2

3

d
沿x轴正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板区域的右边界
由几何知识可知：ab板上被粒子打中区域的长度：L=2x+r=

4 3

3

d+

2

3

d
答：（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离为x=

2 3

3

d；
（2）磁感应强度B的大小B=

3mv0

qd

；
（3）将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度L=

4 3

3

d+

2

3

d．

点评：本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．