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（2004?南通二模）如图为宇宙中有一个恒星系的示意图．A为星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0、周期为T0．（1）中央恒星O的质量为多大？
（2）经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t0发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离（由于B对A的吸引而使A的周期引起的变化可以忽略）根据上述现象及假设，试求未知行星B的运动周期T及轨道半径R．
分析：研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；根据开普勒第三定律解得轨道半径．
解答：解：（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m
由万有引力提供向心力得：
=
得：M=
（2）每隔时间t0发生一次最大的偏离，说明A、B每隔时间t0有一次相距最近的情况，这时它们转过的角度相差1周（2π），所以有：
t0-
t0=2π
解得：T=
据开普勒第三定律：
=
得：R=(
)
R0
答：中央恒星O的质量为M=
；未知行星B的运动周期T=
，及轨道半径R=(
)
R0．
由万有引力提供向心力得：
| GMm | ||
|
| m4π2R0 |
| T2 |
得：M=
4π2
| ||
G
|
（2）每隔时间t0发生一次最大的偏离，说明A、B每隔时间t0有一次相距最近的情况，这时它们转过的角度相差1周（2π），所以有：
| 2π |
| T0 |
| 2π |
| T |
解得：T=
| t0T0 |
| t0-T0 |
据开普勒第三定律：
| R3 |
| T2 |
| ||
|
得：R=(
| t0 |
| t0-T0 |
| 2 |
| 3 |
答：中央恒星O的质量为M=
4π2
| ||
G
|
| t0T0 |
| t0-T0 |
| t0 |
| t0-T0 |
| 2 |
| 3 |
点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．
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冲刺100分1号卷系列答案
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