Question

8．如图所示，在xOy坐标系中，x轴上方有方向沿x轴正向的匀强电场，下方有一半径为R的圆形有界匀强磁场，圆心在y轴上，且圆与x轴相切，磁场方向垂直于纸面向外，一质量为m，电量为q的带点粒子在坐标为（L，2L）的A点以初速度v₀沿y轴负方向射入电场，且刚好从O点射入磁场，经磁场偏转后刚好平行于x轴从磁场中射出，求：
（1）电场强度和磁感应强度的大小；
（2）粒子在电场和磁场中运动的总时间；
（3）若该粒子沿y轴负方向射出时的初速度大小只有$\frac{1}{2}$v₀，要使该粒子也能从O点进入磁场，且经磁场偏转后刚好平行于x轴从磁场中射出，求该粒子开始射出时位置的坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据类平抛运动的分位移公式列式求解磁感应强度；在磁场中做匀速圆周运动，作出运动轨迹，结合几何关系得到轨道半径，然后结合推论公式r=$\frac{mv}{qB}$求解磁感应强度和运动时间；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解在磁场中的运动时间；
（3）要使粒子依然平行x轴射出，则O、磁场区域的圆心、轨迹圆心、出射点依然应该构成菱形，故粒子的轨道半径不变，故进入磁场的速度不变；对磁场中运动过程，根据平行四边形定则先求解x和y方向的分速度，然后对第一次和第二次类似平抛过程分别根据运动学公式列式后联系确定第二次释放点的坐标．

解答 解：（1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分位移公式，有：
$L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$
2L=v₀t₁
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$
速度偏转角的正切值：
tanα=2tanβ=$2×\frac{L}{2L}=1$
解得：
α=45°
由于$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
故v_y=v₀
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
粒子与-y方向成45°进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图：

由于平行x方向射出，故∠ODC=135°，故∠OFC=135°，故可以证明，图中?ODCF为菱形，故轨道半径为：
r=R
根据推论公式r=$\frac{mv}{qB}$，解得：
B=$\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$
（2）粒子在磁场中运动时间为：
t₂=$\frac{135°}{360°}$•$\frac{2πr}{v}$=$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$
故粒子在电场和磁场中运动的总时间：
t=t₁+t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$
（3）若该粒子沿y轴负方向射出时的初速度大小只有$\frac{1}{2}$v₀，要使该粒子也能从O点进入磁场，且经磁场偏转后刚好平行于x轴从磁场中射出，则O、磁场区域的圆心、轨迹圆心、出射点依然应该构成菱形，故粒子的轨道半径不变，故进入磁场的速度不变，仍然为$\sqrt{2}{v}_{0}$；
由于${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{2}$，故${v}_{x}=\sqrt{{v}^{2}-{v}_{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$
对x方向分运动，根据速度位移公式，有：
${v}_{0}^{2}=2aL$ （第一次）
（$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$）²=2ax′（第二次）
解得：
x′=$\frac{7}{4}L$
对y方向分运动，有：
2L=v₀t₁=v₀$\frac{{v}_{0}}{a}$（第一次）
y′=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}^{′}$=$\frac{{v}_{0}}{2}\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}}{a}$（第二次）
解得：
y′=$\frac{\sqrt{7}}{2}L$
故粒子第二次释放点的坐标为：（$\frac{\sqrt{7}}{2}L$，$\frac{7}{4}L$）
答：（1）电场强度的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$，磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在电场和磁场中运动的总时间为$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$；
（3）第二次该粒子开始射出时位置的坐标为：（$\frac{\sqrt{7}}{2}L$，$\frac{7}{4}L$）．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，对于电场中的运动，关键是根据类似平抛运动的分运动公式列式；对于磁场中的运动，关键是明确O、磁场区域的圆心、轨迹圆心、出射点依然应该构成菱形，结合几何关系和牛顿第二定律列式分析；不难．