Question

如下图所示为某钢铁厂的钢锭传送装置，斜坡长为L＝20 m，高为h＝2 m，斜坡上紧排着一排滚筒．长为l＝8 m、质量为m＝1×10³ kg的钢锭ab放在滚筒上，钢锭与滚筒间的动摩擦因数为μ＝0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢锭沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v＝4 m/s.假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢锭对滚筒的总压力近似等于钢锭的重力．取当地的重力加速度g＝10 m/s².试求：

 (1)钢锭从坡底(如上图示位置)由静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间；

(2)钢锭从坡底(如上图示位置)由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

Answer 1

解析：　(1)钢锭开始受到的滑动摩擦力为

F_f＝μmg＝3×10³ N

由牛顿第二定律有F_f－mgsin α＝ma₁

解得a₁＝2 m/s²

钢锭做匀加速运动的时间t₁＝＝2 s

位移x₁＝a₁t₁²＝4 m

要使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，钢锭先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．

钢锭做匀速直线运动的位移x₂＝L－l－x₁＝8 m

做匀速直线运动的时间t₂＝＝2 s

所需最短时间t＝t₁＋t₂＝4 s.

(2)要使电动机工作的时间最短，钢锭的最后一段运动要关闭电动机，钢锭匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零．

匀减速上升时F_f＋mgsin α＝ma₂

解得a₂＝4 m/s²

匀减速运动时间t₃＝＝1 s

匀减速运动位移x₃＝t₃＝2 m

匀速运动的位移x₄＝L－l－x₁－x₃＝6 m

电动机至少要工作的时间t＝t₁＋＝3.5 s.

答案：　(1)4 s　(2)3.5 s