Question

如下图所示为某钢铁厂的钢锭传送装置、斜坡长为L=20 m，高为h=2 m，斜坡上紧排着一排滚筒。长为l=8 m、质量为m=1×10³ kg的钢锭ab放在滚筒上，钢锭与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢锭沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v=4 m/s。假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢锭对滚筒的总压力近似等于钢锭的重力。取当地的重力加速度g=10 m/s²。试求：

（1）钢锭从坡底（如下图示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间。

（2）钢锭从坡底（如下图示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

Answer 1

解：（1）钢锭开始受到的滑动摩擦力为f₁=μmg=3×10³ N

由牛顿第二定律有f₁-mgsinα=ma₁

解得a₁=2 m/s²

钢锭做匀加速运动的时间t₁==2 s

位移s₁=a₁t₁²=4 m

要使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，钢锭先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动。

钢锭做匀速直线运动的位移s₂=L-l-s₁=8 m

做匀速直线运动的时间t₂==2 s

所需最短时间t=t₁+t₂=4 s。

（2）要使电动机工作的时间最短，钢锭的最后一段运动要关闭电动机，钢锭匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零。

匀减速上升时f₁+mgsinα=ma₂

解得a₂=4 m/s²

匀减速运动时间t₃==1 s

匀减速运动位移s₃=t₃=2 m

匀速运动的位移s₄=L-l-s₁-s₃=6 m

电动机至少要工作的时间t=t₁+=3.5 s。