题目内容

如图1所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图2所示的方波电压，电压的正向值为U0，反向电压值为
U02
，且每隔T/2换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，试问：
（1）在靶MN上距其中心O′点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足什么条件？（写出U0、m、d、q、T的关系式即可）
分析：（1）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前
T
2
时间内和后
T
2
 时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在
T
2
，
3
2
 T，…（2n+1）
T
2
 时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于
d
2
．代入（1）问的结论，求解电压U0的数值应满足的条件．
解答：解：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，
在前
T
2
 时间内，粒子在竖直向下的位移为：s1=
1
2
a1（
T
2
 ）2=
qU0T2
8md
在后
T
2
时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2=v
T
2
-
1
2
a2（
T
2
）2
将v=a1
T
2
=
qU0
2md
，代入上式得：s2=
3qU0T2
16md

故粒子打在距O′点正下方的最大位移为：s=s1+s2=
5qU0T2
16md
当粒子在
T
2
，
3
2
T，…（2n+1）
T
2
 时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前
T
2
 时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s
′
2
=v′
T
2
-
1
2
a
′
2
(
T
2
)2   
其中，v′=
a
′
1
T
2
=
qU0T
4md
，
a
′
2
=
qU0
md
，代入上式得：s2′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：s′=
s
′
1
+
s
′
2
=
qU0T2
16md
．
（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：
5qU0T2
16md
＜
d
2
，即U0＜
8md2
5qT2
答：（1）在靶MN上距其中心O′点
qU0T2
16md
的范围内有粒子击中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足U0＜
8md2
5qT2
条件．
点评：本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键．
练习册系列答案
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U0
2
，且每隔
T
2
换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，试问：
（1）在靶MN上距其中心O′点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足什么条件？（写出U0、m、d、q、T的关系式即可）
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如图1所示，水平放置的汽缸内壁光滑，活塞厚度不计，在A、B两处设有限制装置，使活塞只能在A、B之间运动，B左面汽缸的容积为V0，A、B之间的容积为0.1V0.开始时活塞在B处，缸内气体的压强为0.9p0(p0为大气压强)，温度为297 K，现缓慢加热汽缸内气体，直至399.3 K．求：

(1)活塞刚离开B处时的温度TB；

(2)缸内气体最后的压强p；

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