Question

如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L=0.40m，导轨平面与水平面成θ=30？角，上端和下端通过导线分别连接阻值R₁=R₂=1.2Ω的电阻，质量为m=0.20kg、阻值为r=0.20Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直且保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，取重力加速度g=10m/s²．若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，通过小电动机对金属棒施加力，使金属棒沿导轨向上做匀加速直线运动，经过0.5s电动机的输出功率达到10W，此后保持电动机的输出功率不变，金属棒运动的v-t图如图乙所示，试求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）在0-0.5s时间内金属棒的加速度a的大小；
（3）在0-0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系；
（4）如果在0-0.5s时间内电阻R₁产生的热量为0.135J，则这段时间内电动机做的功．

Answer 1

（1）由图象可知，当金属棒的最大速度为v_m=5m/s，因为此时电动机的功率恒为P=10W，根据P=Fv可得此时电动机对金属棒的拉力F=

P

vm

  ①
对金属棒进行受力分析可得：



由图可知：F_合x=F-F_安-mgsin30°=0
故此时F_安=F-mgsinθ        ②
又因为回路中产生的感应电动势E=BLv_{m ③}
根据欧姆定律可得，此时回路中电流I=

BLvm

r+ R 2

           ④
由①②③④可解得B=1T
（2）由题意可知，当t=0.5s时，金属棒获得的速度v=at
此时电路中产生的感应电流I=

BLv

r+ 1 2 R

，金属棒受到的安培力=F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

此时电动机的拉力F=

P

v

则对金属棒进行受力分析有：F-F_安-mgsinθ=ma
代入有关数据有：

P

at

-

B2L2at

r+ 1 2 R

-mgsinθ=ma
又因为t=0.5s，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
所以可计算得a=

20

3

m/s2
（3）在0-0.5s时间里对金属棒进行受力分析有：
  F-F_安-mgsinθ=ma得
F=ma+mgsin30°+F_安
代入a=

20

3

m/s2，F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
可计算得F=

4t

3

+

7

3

．
（4）令通过导体棒的电流为I，则通过电阻R₁和R₂的电流分别为

1

2

I
电流做功Q=I²Rt得：
对于R₁产生的热量：Q1=(

I

2

)2Rt
对于R₂产生的热量：Q2=(

I

2

)2Rt
对于导体棒r产生的热量：Q3=I2rt
因为I和t相等，R=1.2Ω，r=0.2Ω，Q₁=0.135J
所以可以计算出：Q₂=Q₁=0.135J，Q₃=0.09J
即整个电路产生的热量Q=Q₁+Q₂+Q₃=0.36J
对整个0.5s过程中由于导体棒的加速度为

20

3

m/s2在0.5s的时间里，导体棒沿轨道上升的距离
x=

1

2

at2=

1

2

×

20

3

×(

1

2

)2m=

5

6

m
0.5s末导体棒的速度v=at=

20

3

×

1

2

m/s=

10

3

m/s
在这0.5s的时间里，满足能量守恒，故有：
WF-Q-mgxsinθ=

1

2

mv2
∴力F做功为：WF=Q+mgxsinθ+

1

2

mv2
代入Q=0.36J，m=0.2kg，x=

5

6

m，v=

10

3

m/s可得：
W_F=2.34J
答：（1）磁感应强度B=1T；
（2）在0-0.5s时间内金属棒的加速度a=

20

3

m/s2；
（3）在0-0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系：F=

4t

3

+

7

3

；
（4）如果在0-0.5s时间内电阻R₁产生的热量为0.135J，则这段时间内电动机做的功W_F=2.34J．