Question

某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔、，两极板间电压的变化图象如图2所示，电压的最大值为、周期为，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为、电荷量为的带正电的粒子从板内孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间后恰能再次从孔进入电场加速。现该粒子的质量增加了。（粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力）
【小题1】若在时刻将该粒子从板内孔处静止释放，求其第二次加速后从孔射出时的动能；
【小题2】现要利用一根长为的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响）使图1中实线轨迹（圆心为）上运动的粒子从孔正下方相距处的孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
【小题3】若将电压的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内孔处从静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？

Answer 1

【小题1】
【小题2】图略（将磁屏蔽管竖直放置，放在与实线圆相切处，上端与点同高。）
【小题3】）（在区间粒子最多被连续加速次，当时刻也恰好被加速的情况下，最终获得的动能最大。因此开始时刻。对应的最大动能为

解析


本题考查带电粒子在磁场中的圆周运动和在电场中的加速运动以及用数学解决物理问题的能力．关键是判断怎样才能得到最大动能即何时加速，加速电压多大
（1）求第二次加速后从b孔射出时的动能只需知道加速时所对应的电压即可．
质量为m₀的粒子在磁场中作匀速圆周运动，有
，，   则
当粒子的质量增加了 ，其周期增加,
根据题图2可知，粒子第1次的加速电压 ,
经过第二次加速，设第2次加速电压U₂，如图3所示，在三角形中，有 ，
所以粒子第2次的加速电压 ,粒子射出时的动能
解得 .
（2）因为磁屏蔽管使粒子匀速运动至以下L处，出管后仍然做圆周运动，可到C点水平射出．磁屏蔽管的位置和粒子运动的轨迹如图4．
（3）如图5，设T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象。
从图象可以看出，时间每改变（图象中为1），电压改变为（图象中为4），所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个 . 设某时刻t，u=U₀时被加速，此时刻可表示为 ,静止开始加速的时刻t₁为，其中n=12，将n=12代入得 ,
因为，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数： ，得N=25．所以只能取N=25，解得  , 由于电压的周期为，所以

故粒子由静止开始被加速的时刻
故加速时的电压分别   ,
根据动能定理可知：粒子的最大动能等于加速电压做的总功，即 
解得: