题目内容
如图，在0≤x≤| 3 |
| 3 |
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．
分析：（1）由几何关系可确定粒子飞出磁场所用到的时间及半径，再由洛仑兹力充当向心力关系，联立可求得荷质比；
（2）由几何关系可确定仍在磁场中的粒子位置，则可由几何关系得出夹角范围；
（3）最后飞出的粒子转过的圆心角应为最大，由几何关系可知，其轨迹应与右边界相切，则由几何关系可确定其对应的圆心角，则可求得飞出的时间．
（2）由几何关系可确定仍在磁场中的粒子位置，则可由几何关系得出夹角范围；
（3）最后飞出的粒子转过的圆心角应为最大，由几何关系可知，其轨迹应与右边界相切，则由几何关系可确定其对应的圆心角，则可求得飞出的时间．
解答：
解：（1）初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示，其圆心为C．由几何关系可知，∠POC=30°；△OCP为等腰三角形
故∠OCP=
①
此粒子飞出磁场所用的时间为
t0=
②
式中T为粒子做圆周运动的周期．
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得
R=
a ③
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m
④
T=
⑤
联立②③④⑤解得
=
⑥
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出．依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧
上．如图所示．
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN．由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为
．
设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN，由几何关系有θM=
⑦θN=
⑧
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
≤θ≤
（3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示．由几何关系可知：
OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知，圆的圆心角为240°，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t0；
解：（1）初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示，其圆心为C．由几何关系可知，∠POC=30°；△OCP为等腰三角形故∠OCP=
| 2π |
| 3 |
此粒子飞出磁场所用的时间为
t0=
| T |
| 3 |
式中T为粒子做圆周运动的周期．
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得
R=
2
| ||
| 3 |
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m
| v2 |
| R |
T=
| 2πR |
| v |
联立②③④⑤解得
| q |
| m |
| 2π |
| 3Bt0 |
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出．依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧
 |
| MN |
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN．由对称性可知vP与OP、vM与OM、vN与ON的夹角均为
| π |
| 3 |
设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN，由几何关系有θM=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示．由几何关系可知：
OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知，圆的圆心角为240°，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t0；
点评：本题考查带电粒子在磁场中的运动，解题的关键在于确定圆心和半径，并能根据几何关系确定可能的运动轨迹．
练习册系列答案
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