Question

如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一定的速度平行于x轴正方向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R₀的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x=R₀平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点，不计重力．已知h=6cm，R₀=10cm，求：
（1）粒子到达x=R₀平面时速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离；
（2）M点的横坐标x_M．

Answer 1

分析：（1）做直线运动时电场力等于洛伦兹力，做圆周运动洛伦兹力提供向心力，只有电场时，粒子做类平抛运动，联立方程组即可求解；
（2）撤电场加上磁场后做圆周运动洛伦兹力提供向心力，求得R，再根据几何关系即可求解．

解答：解：（1）做直线运动有：qE=qBv₀   ①
做圆周运动有：qBv₀=m

v 2 0

R0

  ②
只有电场时，粒子做类平抛运动，有：
     qE=ma     ③
     R₀=v₀t     ④
     v_y=at     ⑤
从③④⑤解得vy=

qER0

mv0

⑥，从①得E=Bv₀⑦，从②式得R0=

mv0

qB

⑧，将⑦、⑧代入⑥得：
v_y=v₀粒子速度大小为：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀
速度方向与x轴夹角为：θ=

π

4

粒子与x轴的距离为：H=h+

1

2

at²=h+

R0

2

代入数据得H=11cm．
（2）撤电场加上磁场后，有：qBv=m

v2

R

解得：R=

2

R₀，代入数据得R=14cm．
粒子运动轨迹如图所示，圆心C位于与速度v方向垂直的直线上，该直线与x轴和y轴的夹角均为

π

4

，
由几何关系得C点坐标为：x_c=2R₀，代入数据得x_C=20cm
y_c=H-R₀=h-

R0

2

，代入数据得y_C=1cm
过C作x轴的垂线，在△CDM中：

.

CM

=R=

2

R₀

.

CD

=y_c=h-

R0

2

解得：

.

DM

=

. CM 2-  . CD 2

=

7 4 R 2 0 +R0h-h2

M点横坐标为：x_M=2R₀+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

代入数据得x_M=34cm
答：（1）粒子到达x=R₀平面时速度方向与x轴的夹角为

π

4

，粒子到x轴的距离为11cm；
    （2）M点的横坐标x_M为34cm．

点评：该题是带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们理解仅有电场时，粒子做类平抛运动，只有磁场时做匀速圆周运动，再根据圆周运动和平抛运动的基本公式及几何关系解题，本题难度较大．