Question

如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水
平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上．用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为M（M＞2m），细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度（B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g）．求：
（1）释放物体C之前弹簧的压缩量；
（2）物体B的最大速度秒m；
（3）若C与斜面的动摩擦因数为μ，从释放物体C开始到物体A恰好要离开地面时，细线对物体C所做的功．

Answer 1

分析：（1）据题意：释放物体C之前细线恰好伸直但没有拉力，弹簧所受的压力等于a的重力，根据胡克定律求解弹簧的压缩量x；
（2）当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，根据胡克定律求出此时弹簧的伸长量x′，则物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离等于x+x′．当物体B达最大速度时合力为零，根据平衡条件和三个物体和弹簧的机械能守恒，列式可求解物体B的最大速度．
（3）以三个物体和弹簧作为研究对象，据动能定理求出物体A恰好要离开地面时B、C的速度大小，再对C，运用动能定理求解细线对物体C所做的功．

解答：解：设斜面倾角为α
（1）细线恰好伸直，绳子拉力为零，设弹簧的压缩量为x
对物体B受力分析有 mg=kx                               
得：x=

mg

k

；                                               
（2）当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，设弹簧的伸长量为x′
对物体A受力分析有 mg=kx′
因此物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离
   s=x+x′=

2mg

k

                                           
当物体B达最大速度时有  Mgsinα=2mg
以三个物体和弹簧作为研究对象，据机械能守恒定律有：
  Mgs?sinα-mgs=

1

2

(M+m)

v

2 m

                                 
解得：v_m=2mg

1 k(M+m)

；                                   
（3）以三个物体和弹簧作为研究对象，据动能定理有：
  Mgs?sinα-μMgscosα-mgs=

1

2

(M+m)v2
以物体C为研究对象，据动能定理有：
  W+Mgs?sinα-μMgscosα=

1

2

Mv2
 解得：W=-

2(mg)2

k(M+m)

(M+2m-μ

M2-4m2

)；
答：
（1）释放物体C之前弹簧的压缩量是

mg

k

；
（2）物体B的最大速度是2mg

1 k(M+m)

；
（3）若C与斜面的动摩擦因数为μ，从释放物体C开始到物体A恰好要离开地面时，细线对物体C所做的功是-

2(mg)2

k(M+m)

(M+2m-μ

M2-4m2

)．

点评：对物体正确受力分析是正确解题的前提与关键，熟练应用系统的机械能守恒定律和动能定理即可正确解题．