题目内容
16．利用万有引力定律可以测量天体的质量．（1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．
已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的
质量．（2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示．已知A、B间距离为L，A、B绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求A、B的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T1，月球、地球球心间的距离为L1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．
分析 （1）根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的质量M；
（2）双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．代入公式即可解答；
（3）根据地（2）问的结论求出地球和月球的总质量，再减去（1）中求出的地球质量即为月球质量．
解答 解：（1）设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）设A的质量为M1，A到O的距离为r1，设B的质量为M2，B到O的距离为r2，
根据万有引力提供向心力公式得：
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}={M}_{1}（\frac{2π}{T}）^{2}{r}_{1}$，
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}={M}_{2}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{r}_{2}$，
又因为L=r1+r2
解得：${M}_{1}+{M}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$
（3）设月球质量为M3，由（2）可知，${M}_{3}+M=\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
由（1）可知，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
解得：${M}_{3}=\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}-\frac{g{R}^{2}}{G}$
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）A、B的总质量为$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}-\frac{g{R}^{2}}{G}$．
点评 本题要掌握两个关系：星球表面的物体受到的重力等于万有引力；环绕天体绕中心天体做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供．这两个关系可以解决天体运动的一切问题，双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．
长江作业本同步练习册系列答案
| A． | 副线圈输出电压的频率为5Hz | |
| B． | 电压表的读数为31V | |
| C． | 当热敏电阻的温度升高时，则电流表读数将变大 | |
| D． | 当热敏电阻的温度降低时，则L1将变亮、L2将变暗 |
在“探究力的平行四边形定则”的实验中，用图钉把橡皮筋的一端固定在板上的A点，在橡皮筋的另一端拴上两条细绳，细绳另一端系着绳套B、C（用来连接弹簧测力计）．其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳．
某校科技小组的同学设计了一个传送带测速仪，测速原理如图所示．在传送带一端的下方固定有间距为L、长度为d的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B、方向垂直传送带平面（纸面）向里、有理想边界的匀强磁场，且电极之间接有理想电压表和电阻R，传送带背面固定有若干根间距为d的平行细金属条，其电阻均为r，传送带运行过程中始终仅有一根金属条处于磁场中，且金属条与电极接触良好．当传送带以一定的速度匀速运动时，电压表的示数为U．则下列说法中正确的是（ ）| A． | 传送带匀速运动的速率为$\frac{U}{BL}$ | |
| B． | 电阻R产生焦耳热的功率为$\frac{U^2}{R+r}$ | |
| C． | 金属条经过磁场区域受到的安培力大小为$\frac{BUd}{R+r}$ | |
| D． | 每根金属条经过磁场区域的全过程中克服安培力做功为$\frac{BLUd}{R}$ |
| A． | 振子振动的周期等于t1 | B． | 振子振动的周期等于t2 | ||
| C． | t1时刻振子位于b点 | D． | t1时刻振子位于a点 |
| A． | 热量不能从低温物体传到高温物体 | |
| B． | 雨水没有透过布雨伞是因为液体表面存在张力 | |
| C． | 自行车打气越打越困难主要是因为胎内气体压强增大而非分子间相互排斥的原因 | |
| D． | lg氢气和1g氧气含有的分子数相同，都是6.02×1023个 |
如图所示，空间存在范围足够大的竖直向下的匀强电场，电场强度大小E=1.0×104V/m，在绝缘地板上固定有一带正电的小圆环A．初始时，带正电的绝缘小球B静止在圆环A的圆心正上方，B的电荷量为q=9×10-7C，且B电荷量始终保持不变．始终不带电的绝缘小球C从距离B为x0=0.9m的正上方自由下落，它与B发生对心碰撞，碰后不粘连但立即与B一起竖直向下运动．它们到达最低点后（未接触绝缘地板及小圆环A）又向上运动，当C、B刚好分离时它们不再上升．已知初始时，B离A圆心的高度r=0.3m．绝缘小球B、C均可以视为质点，且质量相等，圆环A可看作电量集中在圆心处电荷量也为q=9×l0-7C的点电荷，静电引力常量k=9×109N•m2/C2．（g取10m/s2）．求：| A． | $\frac{\sqrt{GMr}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2GMr}}{2}$ | C． | $\sqrt{2GMr}$ | D． | 2$\sqrt{GMr}$ |