Question

1．如图甲所示，A和B是长为L、间距为d的平行金属板，靶MN垂直固定在它们的右端．在A、B板上加上方形波电压，如图乙所示．电压的正向值为U₀，反向值为$\frac{{U}_{0}}{2}$，周期为T．现有质量为m、带电量为+q的粒子连续从AB的中点O以平行于金属板的方向射入．设所有粒子都能穿过电场打到靶上，而且每个粒子在AB间的飞行时间均为T，不计粒子重力的影响．试问：

（1）粒子射入平行金属板时的速度多大？
（2）t=$\frac{T}{2}$时刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O′多远？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中受到竖直向下的电场力，水平方向不受力而做匀速直线运动，由T=$\frac{L}{v}$ 可求速度；
（2）入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O′多远与粒子竖直方向的分位移有关．分析粒子在竖直方向的运动：$\frac{T}{2}$～T时间内，粒子向上作初速为零的匀加速运动，在T～$\frac{3}{2}$T时间内，由于此时的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上减速后向下加速，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求竖直方向的总位移，即可确定粒子打到靶上的位置．

解答 解：（1）粒子在水平方向粒子作匀速直线运动，则有：v₀=$\frac{L}{T}$
（2）在竖直方向，从$\frac{T}{2}$～T时间内，粒子向上作初速为零的匀加速运动，有：
a=$\frac{q•\frac{{U}_{0}}{2}}{md}$=$\frac{q{U}_{0}}{md}$
则粒子竖直方向上的位移：
s₁=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$ ）²=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$
粒子在T～$\frac{3}{2}$T时间内，由于此时的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上减速后向下加速，此阶段竖直方向的位移s₂=0．
综上所述，有竖直方向上总位移  s_总=s₁+s₂=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$
答：（1）粒子射入平行金属板时的速度为$\frac{L}{T}$；
（2）t=$\frac{T}{2}$时刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O′距离为$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$．

点评 本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键，并能运用牛顿第二定律和运动学结合进行求解．