Question

20．如图所示，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为与ab相切于竖直平面内的半圆，半径R=0.40m，一质量为m₁=0.20kg的小球A静止在轨道上，另一质量为m₂=0.60kg的小球B，以初速度v₀与小球A正碰．已知两球碰撞过程中没有机械能损失，忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）两球碰撞后的速度大小；
（2）若碰后AB两球都能到达竖直圆轨道的最高点C，求B球的初速度v₀满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）两球碰撞过程中没有机械能损失，遵守动量守恒定律和能量守恒定律，由此列式，可求得两球碰撞后的速度大小；
（2）小球恰好到达C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得小球通过C点的最小速度．从b到c点由机械能守恒定律列式，可求得B球的初速度v₀满足的条件．

解答 解：（1）因为两球碰撞过程没有机械能损失，故满足动量守恒和动能守恒．
取向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
    m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂．
   $\frac{1}{2}$m₂v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
解得  v₁=$\frac{3}{2}{v}_{0}$，v₂=$\frac{1}{2}{v}_{0}$．
（2）设小球恰好到达C点速度为v_c，在C点，由牛顿第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 v_c=2m/s
设小球B点以v_b恰好到达C点，则从b到c点由机械能守恒可得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$+mg•2R
解得 v_b=2$\sqrt{5}$m/s
若碰后两球都能到达最高点C，只要速度小的满足：v₂≥v_b，即v₀≥4$\sqrt{5}$m/s
答：
（1）两球碰撞后的速度大小分别为$\frac{3}{2}{v}_{0}$和$\frac{1}{2}{v}_{0}$．
（2）B球的初速度v₀满足的条件是v₀≥4$\sqrt{5}$m/s．

点评 解决本题时要抓住弹性碰撞遵守两大守恒定律：动量守恒定律和能量守恒定律，要掌握圆周运动的临界条件：重力等于向心力．