Question

5．受动画片《四驱兄弟》的影响，越来越多的小朋友喜欢上了玩具赛车．某玩具赛车充电电池的输出功率P随电流I变化的图象如图所示．
（1）求该电池的电动势E和内阻r；
（2）求该电池的输出功率最大时对应的外电阻R（纯电阻）．

Answer 1

分析 （1）当电源的内外电阻相等时，根据电池的输出功率P最大为P_m=$\frac{{E}^{2}}{4r}$，由图读出P_m，列出含E、r的方程；当I=4A时，输出功率为零，电源被短路，由欧姆定律写出列出含E、r的方程，再联立组成方程组求解．
（2）由电池的输出功率P最大时电源的内阻等于外电阻求解．

解答 解 （1）I₁=2A时，P_m=$\frac{E^2}{4r}$
I₂=4A时，输出功率为零，此时电源被短路，
即：I₂=$\frac{E}{r}$．
解得：E=2V，r=0.5Ω．
（2）电源的输出功率P=I²R=（$\frac{E}{R+r}$）²R=$\frac{{E}^{2}}{R+2r+\frac{{r}^{2}}{R}}$
而R=r时，R+$\frac{{r}^{2}}{R}$取最小值2r，故此时电源的输出功率最大；
故当内外电阻相等时，电源的输出功率最大；则有：
R=r=0.5Ω
答：（1）该电池的电动势E为2V，内阻r为0.5Ω；
（2）该电池的输出功率最大时对应的外电阻R为0.5Ω；

点评 本题考查读图能力和应用数学知识求极值的能力．对于电源的输出功率，可以由数学知识证明当R=r时，电源的输出功率最大，最大值为P_m=$\frac{E^2}{4r}$．