题目内容

(18分)如图所示,半径为的 1/4光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切,在D点右侧处用长为的细绳将质量为的小球B(可视为质点)悬挂于O点,小球B的下端恰好与水平面接触,质量为的小球A(可视为质点)自圆弧轨道C的正上方H高处由静止释放,恰好从圆弧轨道的C点切入圆弧轨道,已知小球A与水平面间的动摩擦因数,细绳的最大张力,重力加速度为,试求:
 
(1)若,小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力;
(2)试讨论在什么范围内,小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态。
(1),方向竖直向上。(2)

试题分析: (1)设小球运动到D点的速度为
对小球在从静止上落到D点时,由机械能守恒定律:   ①
在D点由牛顿第二定律:           ②
由①②得,方向竖直向上。
(2)设A与B碰前速度为,碰后A的速度为,B的速度为
则A与B碰撞过程有:         ③
弹性碰撞满足机械能守恒:           ④
由③④得A、B在碰撞过程中会发生速度交换。      ⑤
A在由静止到碰撞前过程由动能定理有:  ⑥
若碰后B能在竖直平面内做完整的圆周运动,则细绳始终处于拉直状态,设小球B在最高处速度为
则在最高处有:,得           ⑦
小球B在最低点时细绳受力最大,则有        ⑧
小球B从最低点到最高点由动能定理有: ⑨
联立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得:             ⑩
若A与B碰后B摆动的最大高度小于,则细绳也始终处于拉直状态,
则根据机械能守恒有:        ?
要保证A与B能发生碰撞,则          ?
联立①④⑤⑥??解得:        ?
故小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态的范围:
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