Question

19．如图所示，固定的光滑圆弧面与质量为6kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h=1.25m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ=0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g=10m/s²．求：
（1）滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；
（2）若滑块最终没有从小车C上滑出，求小车C上表面的最短长度．
（3）若小车C上表面的实际长度L=0.25m，离地高H=0.2m，求滑块落地后C右端到达该落地点时间t（保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求解块A滑到圆弧末端时的速度大小，由动量守恒定律求解滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；
（2）根据系统的能量守恒求解小车C上表面的最短长度；
（3）由动量守恒定律与功能关系求出二者分离时的速度，然后将滑块的运动分解为水平方向与竖直方向，求出滑块落地的时间与水平方向的位移，最后结合运动学的公式求出滑块落地后C右端到达该落地点的时间．

解答 解：（1）设滑块A滑到圆弧末端时的速度大小为v₁，由机械能守恒定律有：
m_Agh=$\frac{1}{2}$m_Av${\;}_{1}^{2}$，①
代入数据解得v₁=$\sqrt{2gh}$=5 m/s．②
设A、B碰后瞬间的共同速度为v₂，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，选取向右为正方向，滑块A与B组成的系统动量守恒，
m_Av₁=（m_A+m_B）v₂，③
代入数据解得v₂=2.5 m/s．④
（2）设小车C的最短长度为L，滑块A与B最终没有从小车C上滑出，三者最终速度相同设为v₃，
根据动量守恒定律有：
（m_A+m_B）v₂=（m_A+m_B+m_C）v₃⑤
根据能量守恒定律有：
μ（m_A+m_B）gL=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B+m_C）${v}_{3}^{2}$    ⑥
联立⑤⑥式代入数据解得L=0.375 m．⑦
（3）设滑块离开小车时速度为v₄，小车速度为v₅
根据动量守恒定律有：（m_A+m_B） v₂=（m_A+m_B） v₄+m_C v₅
根据能量守恒定律有：μ（m_A+m_B）gL=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）$v_2^2$-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B） $v_4^2$-$\frac{1}{2}$m_C$v_5^2$
由此二式可得：${v_4}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}m/s（或1.87m/s）$；${v_5}=\frac{{3-\sqrt{3}}}{3}m/s（或0.42m/s）$
滑块离开小车后平抛到落地时间${t_0}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=0.2s$
由v₄t₀=v₅（t₀+t）
得t=0.69s
答：（1）滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小是2.5m/s；
（2）若滑块最终没有从小车C上滑出，小车C上表面的最短长度是0.375m．
（3）若小车C上表面的实际长度L=0.25m，离地高H=0.2m，滑块落地后C右端到达该落地点时间是0.69s．

点评 本题要求我们要熟练掌握机械能守恒、能量守恒和动量守恒的条件和公式，正确把握每个过程的物理规律是关键．