Question

如图所示，在空间中取直角坐标系Oxy，在第一象限内平行于y轴的虚线MN与y轴距离为d，从y轴到MN之间的区域充满一个沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E．初速可忽略的电子经过一个电势差U未确定的电场直线加速后，从y轴上的A点以垂直于电场的方向射入第一象限区域，A点坐标为（0，h），已知电子的电量为e，质量为m，（重力忽略不计），若电子可以在第一象限从MN边界离开电场区域，求：
（1）加速电场的电势差要满足的条件；
（2）若满足上述条件的加速电场的电势差为U₀时，求电子经过x轴时离坐标原点O的距离X．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出电子由加速电场获得的速度．电子进入图中电场时，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电子离开电场距离x，当x＞d，电子离开有界电场．
（2）电子离开电场后做匀速直线运动，分别求出水平和竖直两个方向的位移，再求解电子经过x轴时离坐标原点O的距离X．

解答：解：（1）以电子为研究对象，受力分析知，电子进入图中电场时，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动．
进入电场前，设加速电压为U，进入电场的速度为v₀，在电场运动的时间为t，由动能定理得：
eU=

1

2

mv₀^2…①
进入电场后，电子做类平抛运动
所以  x=v₀t…②
y=

1

2

at²…③
a=

Ee

m

…④
当电子离开电场时，x＞d..⑤
联立①②③④⑤解得：U＞

Ed2

4h

（2）当电子离开电场后，做匀速直线运动．运动轨迹如图所示．
设离开电场的夹角为θ，所以tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=

Ed

2U0

   
电子在电场的偏转距离 y=

at2

2

=

Ee

2m

(

d

v 0

)2=

Ed2

4U0

  
 电子出电场后由图可知：Y=h-y=h-

Ed2

4U0

   
电子经过x轴时离坐标原点O的距离X为：X=d+Ycotθ=

d

2

+

2hU0

Ed

 答：（1）加速电场的电势差要满足的条件为U＞

Ed2

4h

；
（2）若满足上述条件的加速电场的电势差为U₀时，求电子经过x轴时离坐标原点O的距离X为

d

2

+

2hU0

Ed

．
．

点评：本题是带电粒子在匀强电场中偏转问题，明确电子的运动情况和遵循的规律即运用运动的分解法研究．