题目内容
【题目】某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示。A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d(d<<l)。火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部(可近似忽略球状头部的尺度)，另一端顶在火柴棍C的中点。这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水。已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙(即可以没有滑动)，而且它们的质量与重物相比均可忽略。
（1）如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么?
（2）加上火柴棍B和C、小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移，通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡。求平衡时该角度的大小。
【答案】（1）不能，从力的平衡看，单一的火柴棍A无法提供向上的力与一瓶矿泉水的重力平衡；从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉；（2）
【解析】
（1）不能。从力的平衡看，单一的火柴棍A无法提供向上的力与一瓶矿泉水的重力平衡；从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉下。
（2）由于火柴棍A水平，火柴棍B的下端正好在A的中点的正下方，由几何关系知，火柴棍A和B之间的夹角为
=60°，桌面上表面边沿O点到火柴棍B的下端(即火柴棍C的中点)的距离为L=
l，又由于火柴棍C水平，由几何关系知，从O点到火柴棍C两端的距离均为l，如图(a)所示。据题意，三根火柴的结构在重物质量逐渐增大时是稳定的。因而火柴棍C继续保持水平，火柴棍B和A之间的夹角也能得以保持不变，即图(b)中，火柴棍A和B之间的夹角仍然为60°。
瓶最终稳态应该在何处？应该在O点正下方！又因为棉线是有一定的线度，直径为d。一开始瓶的纵向几何中心与棉线的纵向几何一直线，最终瓶的纵向几何中心在O点的正下方。所以：①瓶向左平移的距离为
；②瓶最终的转动中心在桌子下边沿，O点正下方的D点。如图(c)，D′是棉线纵向轴线的位置，是瓶纵向中心的原位置。D是瓶的纵向中心的新位置。所以瓶转过的角度∠DED′=θ，DD′=，且因为是微小的转动，故由微量处理知
OO ′=DD′=
同理
O′D′=OD=h
D′E=DE=L－h=
故
sinθ=
平衡时该角度的大小
θ=arcsin
