Question

7．图中坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q．有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应强度的大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．

Answer 1

分析 设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界，考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在洛伦兹力作用下做圆周运动，得到其轨迹半径R，由数学方法得到边界线的方程，再研究磁场方向垂直xy平面向外的情况，由数学知识得到参数方程．

解答 解：设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界，考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，若圆轨道的为R，则有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 R=$\frac{mv}{qB}$
圆轨道的圆心O′在过坐标原点O与速度方向垂直的连线上，至原点的距离为R，如图1所示，通过圆心O′，作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上．对于不同入射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线，P点的坐标为
  x=-Rsinθ
  y=-R+Rcosθ
这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得
  x²+（y+R）²=R²；
将R=$\frac{mv}{qB}$代入上式得：x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
这是半径为R圆心O″的坐标为（0，-R）的圆，作为该题要求的磁场区域的边界线，应是如图2所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为：
 
x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≤0，y≤0
若磁场方向垂直于xy平面向外，则磁场的边界线为如图3的半圆，磁场区域的边界线的方程为 
  x²+（y-R）²=R²，x≥0，y≥0
即x²+（y-$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≥0，y≥0．

答：若磁场方向垂直于xy平面向里，磁场的边界线为如图2的半圆，磁场区域的边界线的方程为 x²+（y+$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≤0，y≤0．
若磁场方向垂直于xy平面向外，磁场的边界线为如图3的半圆，磁场区域的边界线的方程为 x²+（y-$\frac{mv}{qB}$）²=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$，x≥0，y≥0．

点评 带电粒子在磁场中的圆周运动，关键要运用数学知识分析边界线的形状，分析边界线的参数方程，要有运用数学知识解决物理问题的能力．