Question

【题目】回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，图20为回旋加速器的示意图。D1、D2是两个中空的铝制半圆形金属扁盒，在两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒接在高频交流 电源上。在D1盒中心A处有粒子源，产生的带正电粒子在两盒之间被电场加速后进入D2盒中。两个D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，带电粒子在磁场力的作用下做匀速圆周运动，经过半个圆周后，再次到达两盒间的狭缝，控制交流电源电 压的周期，保证带电粒子经过狭缝时再次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过狭缝，一次一次地被加速，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，沿切线方向以最大速度被导出。已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，加速时狭缝间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R狭缝之间的距离为d。设从粒子源产生的带电粒子的初速度为零，不计粒子受到的重力，求：

(1)带电粒子能被加速的最大动能Ek；

(2)尽管粒子在狭缝中每次加速的时间很短但也不可忽略。试计算上述正离子在某次加速过程当中从离开离子源到被第n次加速结束时所经历的时间；

(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试推证当R＞＞d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）

(4)带电粒子在D2盒中第n个半圆的半径；

(5)若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒 子的平均功率。

(6)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。

(7)a粒子在第n次由D1盒进入D2盒与紧接着第n+1次由队盒进入队盒位置之间的距离△x；

(8)试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) 当R＞＞d时，t1可忽略不计；(4)；(5)；(6)；(7)；

(8) r△rk+1＜△rk

【解析】

(1)回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子；经回旋加速器的最大速度由洛伦兹力提供向心力可求得由D形盒的半径决定.

(2)回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，根据动能定理求出n次加速后的速度，根据匀变速直线运动的速度时间公式求出加速的时间，再求出粒子偏转的次数，从而得出在磁场中偏转的时间，两个时间之和即为离开离子源到被第n次加速结束时所经历的时间．

(3)在电场中的总的运动可以看做连续的匀加速直线运动，故根据平均速度公式可得在电场中运动时间;而每加速一次，做半个圆周运动，则磁场中的运动时间等于圈数乘以磁场中运动的周期.

(4)粒子被加速一次所获得的能量为qU，求出第n次加速后的动能, 进而可求出第n个半圆的半径.

(5)根据电流的定义式和功率表示式求解.

(6)根据洛仑兹提供向心力，求出最大动能与磁感应强度的关系以及与加速电压频率的关系，然后分情况讨论出最大动能的关系.

(7)回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，根据动能定理求出n次加速后的速度，求出轨道半径，抓住规律，求出△x．

(8)求出rk所对应的加速次数和rk+1所对应的加速次数即可求出它们所对应的轨道半径，然后作差即可求出rk和rk+1，从而求出△rk，运用同样的方法求出△rk+1，比较△rk和△rk+1即可得出答案.

(1)带电粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，此时带电粒子具有最大动能Ek，设离子从D盒边缘离开时的速度为vm.依据牛顿第二定律：Bqvm= m

所以带电粒子能被加速的最大动能：Ek==

(2)设正离子经过窄缝被第n次加速加速后的速度为vn，由动能定理得：nqU=

粒子在狭缝中经n次加速的总时间：

由牛顿第二定律：

由以上三式解得电场对粒子加速的时间：

正离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律Bqv=m 又T=

粒子在磁场中做圆周运动的时间t2=（n-1）

由以上三式解得:t2=

所以， 离子从离开离子源到被第n次加速结束时所经历的时间

t=t1+t2=d

(3)设粒子飞出的末速度为v，将多次电场加速等效为一次从0到v的匀加速直线运动.

在电场中t1=， 在d形盒中回旋周期与速度v无关，在D形盒中回旋最后半周的时间为，

在D形盒中回旋的总时间为t1=n

故＜＜1

即当R＞＞d时，t1可忽略不计.

(4)带电粒子在D2盒中第n个半圆是带电粒子经过窄缝被加速2n-1次后的运动轨道，设其被加速2n-1次后的速度为vn由动能定理得:（2n-1）qU =

此后带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为rn,由牛顿第二定律得Bqvn=m

得：

(5)设在时间t内离开加速器的带电粒子数N，则正离子束从回旋加速器输出时形成的的等效电流I=，

解得:N=

带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率=

(6)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即

当磁场感应强度为Bm时，加速电场的频率应为

粒子的动能

当≤时，粒子的最大动能由Bm决定 qvmBm=m

解得Ekm=

当≥时，粒子的最大动能由fm决定,vm=2πfmR

解得Ekm=

(7)离子经电场第1次加速后，以速度v1进入D2盒，设轨道半径为r1，

r1=

离子经第2次电场加速后，以速度v2进入D1盒，设轨道半径为r2,

轨道半径：r2= ……

离子第n次由D1盒进入D2盒，离子已经过（2n-1）次电场加速，以速度v2-1进入D2盒，由动能定理：（2n-1）Uq=

轨道半径：rn=

离子经第n+1次由D1盒进入D2盒，离子已经过2n次电场加速，以速度v2n进入D1盒，由动能定理：2nUq=

轨道半径：rn+1=

则:

如图所示:

(8)设k为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk，rk+1（rk＜rk+1）， △rk= rk+1 -rk，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk，vk+1，D1、D2之间的电压为U，

由动能定理知2qU= ⑦

由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知rk=，

则2qU= ⑧

整理得:△rk ⑨

相邻轨道半径rk+1，rk+2之差△rk+1=rk+2- rk+2

同理△rk+1=

因U、q、m、B均为定值，且因为rk+2＞rk，比较△rk与△rk+1 得:△rk+1＜△rk