题目内容
【题目】轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度L，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
（1）求弹簧压缩L时所存储的弹性势能Ep；
（2）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小；
（3）它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
（4）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】
（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至L时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能，由机械能守恒定律，弹簧长度为L时的弹性势能为：
（2）设P到达B点时的速度大小为
，由能量守恒定律得：
联立得：
（3）若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小
应满足：
即：
设P滑到D点时的速度为
，由机械能守恒定律得：
联立得：
则满足
的要求，故P能运动到D点，并从D点以速度水平射出，设P落回到轨道AB所需的时间为
，由运动学公式得：
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为：
联立得到：
（4）设P的质量为M，若P刚好过B点，有：
解得：
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，P最多到C而不脱轨，则有：
解得：
所以满足条件的P的质量的取值范围为：
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