Question

1．如图所示，A₁、A₂为水平放置的两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d，A₁板的中点为O，在O点正下方两板间中点的P处有一粒子源，可在竖直平面内向各个方向不断发射同种带电粒子，这些带电粒子的速度大小均为v₀，质量为m，带电量为q，重力忽略不计，不考虑粒子打到板上的反弹，不考虑粒子间相互作用的影响．
（1）若只在A_l、A₂板间加上恒定电压U₀，且A₁板电势低于A₂板，求打到A_l板上粒子的速度大小（忽略带电粒子对金属板上电荷分布的影响）；
（2）若只在A₁、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度满足怎样的条件才能有粒子打到极板上；
（3）若只在A_l、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，求粒子打在A₁板上的区域长度．

Answer 1

分析 （1）求出初末位置的电压差，然后应用动能定理即可求得末速度；
（2）根据洛伦兹力在向心力求得半径的表达式，然后又几何关系求得半径的取值范围，联立即可求得磁感应强度的取值范围；
（3）由磁感应强度求得圆周运动的半径，再分析出粒子可以打在A₁板上最远位置的物理状态，然后又几何关系即可求得粒子出射的区域长度．

解答 解：（1）只在A_l、A₂板间加上恒定电压U₀，则发射点与A₁之间的电压为$\frac{1}{2}{U}_{0}$，又有A₁板电势低于A₂板，则质量为m，带电量为q从发射点到A₁做正功，对该过程应用动能定理可得：$q\frac{{U}_{0}}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，打到A_l板上粒子的速度大小为：$v=\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）只在A₁、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，则粒子在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，所以有：$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
则有：$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
要能有粒子打到极板上，则$2R≥\frac{d}{2}$，即$\frac{2m{v}_{0}}{Bq}≥\frac{d}{2}$；
所以有：$B≤\frac{4m{v}_{0}}{qd}$；
（3）只在A_l、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，则粒子做匀速圆周运动的半径$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}=d$；
当粒子运动轨迹与A₁相切时，到达粒子打在A₁板上的最右端；当粒子运动轨迹与A₂相切时，到达粒子打在A₁板上的最左端；
如图所示，
由几何关系可知：$OQ=\sqrt{{d}^{2}-（\frac{1}{2}d）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，PM=d；
所以，粒子打在A₁板上的区域长度为：$PQ=（1+\sqrt{3}）d$；
答：（1）只在A_l、A₂板间加上恒定电压U₀，且A₁板电势低于A₂板，打到A_l板上粒子的速度大小为$\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）只在A₁、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度不大于$\frac{4m{v}_{0}}{qd}$才能有粒子打到极板上；
（3）只在A_l、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$时，粒子打在A₁板上的区域长度为$（1+\sqrt{3}）d$．

点评 求解粒子在磁场中的运动问题，粒子与边界的极限条件一般都是运动轨迹与边界相切，然后利用几何关系即可求解．