Question

11．如图，倾角为θ=37°的足够长的斜面上，有一质量为M=1.0kg，长为L=2.55m的薄板A，薄板A由两种不同材料拼接而成，其上表面以ab为分界线，其中ab以上部分光滑，长度为L₁=0.75m，下表面与斜面间的动摩擦因数μ₁=0.4．在薄板A的上表面左端放一质量m=1.0kg的小物块B（可视为质点），同时将A，B由静止释放．已知B与A的上表面ab以下部分的动摩擦因数μ₂=0.25，可认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等．物块B从薄板A上滑到斜面上时速度不变，取g=10m/s²，sin37=0.6，求：
（1）B从开始滑动到刚经过ab时所用的时间；
（2）B在A上滑动的时间；
（3）从A、B分离到A在斜面上追上B所用的时间．

Answer 1

分析 （1）（2）根据牛顿第二定律和运动学公式分别求出B在A的上部分和下部分运动时间，再求总时间；
（3）先求出B刚离开薄板时A、B的速度，B滑到斜面上后，根据牛顿第二定律求出A、B的加速度，根据位移时间关系式求出A、B再次相遇的时间；

解答 解：（1）刚释放时，对物体B，设其加速度为a₁；
mgsinθ=ma₁①
对木板A分析有：
Mgsinθ＜μ₁（M+m）cosθ②
B在A的上部分滑动时，A保持静止．设B刚离开上部分时速度为v₁：
${v}_{1}^{2}=2{a}_{1}{L}_{1}$③
解得：v₁=3m/s
B在A的上部分滑动时间为t₁：
v₁=a₁t₁④
解得：t₁=0.5s
（2）B在A的下部分滑动时，设B的加速度为a₂，A的加速度为a₃，该过程的时间为t₂，B的位移为x₁，A的位移为x₂；
mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂⑤
Mgsinθ+μ₂mgcosθ-μ₁（M+m）gcosθ=Ma₃⑥
解得${a}_{2}=4m/{s}^{2}$，${a}_{3}=1.6m/{s}^{2}$
${x}_{1}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{2}^{2}$⑦
${x}_{2}=\frac{1}{2}{{a}_{3}t}_{2}^{2}$⑧
x₁-x₂=L-L₁⑨
解得t₂=0.5s
B在A上滑行的时间为t：
t=t₁+t₂=1s⑩
（3）设物块B离开薄板A时，物块B和薄板A的速度分别为v₂和v₃
v₂=v₁+a₂t₂⑪
v₃=a₃t₂⑫
解得：v₂=5m/s    v₃=0.8m/s
B滑到斜面上后，设B的加速度为a₄，A的加速度为a₅：
mgsinθ-μ₃mgcosθ=ma₄⑬
Mgsinθ-μ₁Mgcosθ=Ma₅⑭
${a}_{4}=2m/{s}^{2}$，${a}_{5}=2.8m/{s}^{2}$
B滑到斜面上后到A、B再次相遇时间为t₃，位移为x₃：
${x}_{3}={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{4}t}_{3}^{2}$⑮
${x}_{3}={v}_{3}{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{5}t}_{3}^{2}$⑯
t₃=10.5s⑰
答：（1）B从开始滑动到刚经过ab时所用的时间为0.5s；
（2）B在A上滑动的时间为1s；
（3）从A、B分离到A在斜面上追上B所用的时间为10.5s．

点评 本题是多过程问题，采用程序法进行分析，关键要分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．