Question

17．如图所示，倾角为θ的传送带，以v₀的恒定速度按图示方向运动．已知传送带上下两端相距L，今将一与传送带间动摩擦因数为μ的滑块A静止放于传送带上端，求A从上端运动到下端的时间t．

Answer 1

分析 对物体受力分析，利用牛顿第二定律和运动学公式求的加速度，关键是讨论L的大小和摩擦力的大小

解答 解：对物体受力分析可知
（1）当mgsinθ＜μmgcosθ时，物体在斜面上的加速度为a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
达到共同速度所需时间为t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此时下滑的位移为x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
当L≤x时经历的时间由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
当L≥x时，达到共同速度之后物体继续随传送带做匀速运动经历的时间为t$′=\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{L}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
故经历的总时间为${t}_{总}=t+t′=\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
（2）当mgsinθ＞μmgcosθ时，物体在斜面上的加速度为a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
达到共同速度所需时间为t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此时下滑的位移为x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
当L≤x时经历的时间由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
当L≥x时，达到共同速度之后物体继续加速运动，加速度为a′$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ$
继续加速所需时间为t″，则$L-x={v}_{0}t″+\frac{1}{2}a′t{″}^{2}$
解得t″=$\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
故下滑总时间为${t}_{总}=t+t″=\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
答：A从上端运动到下端的时间t为$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$或$\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$或$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$．

点评 解决本题的关键理清木块的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式求解