Question

（2010?四川）如图所示，空间有场强E=0.5N/C的竖直向下的匀强电场，长l=0.3

3

m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量m=0.01kg的不带电小球A，拉起小球至绳水平后，无初速释放．另一电荷量q=+0.1C、质量与A相同的小球P，以速度v₀=3

3

m/s水平抛出，经时间t=0.2s与小球A在D点迎面正碰并粘在一起成为小球C，碰后瞬间断开轻绳，同时对小球C施加一恒力，此后小球C与D点下方一足够大的平板相遇．不计空气阻力，小球均可视为质点，取g=10m/s²．
（1）求碰撞前瞬间小球P的速度．
（2）若小球C经过路程s=0.09m到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力．
（3）若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在D点下方面任意改变平板位置，小球C均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力．

Answer 1

分析：（1）小球P在碰撞前做类平抛运动，可通过牛顿第二定律求得竖直方向的加速度，再根据时间就可以求得碰撞前小球竖直方向的速度，水平方向速度已知，根据矢量合成求出小球P碰撞瞬间的速度．
（2）小球P与A在D点正碰，小球P此时的速度与水平方向的夹角为θ，连接小球A的绳子与竖直方向的夹角也为θ，可以求得θ，对A球从开始运动至D点的过程，运用动能定理求得A求的速度，再根据动量守恒定理求得碰撞后的共同速度，小球C经过路程s后到达夹板，此时速度变为0，表明小球C一定做匀减速直线运动，由运动学公式得出加速度，再根据牛顿第二定律就可以求出恒力；
（3）平板足够大，且在D点下方任意改变平板位置，那则可以将平板放置到无限远，但根据题意也要发生正碰（垂直打在板上），则小球C必须匀速或匀加速运动．故恒力F′的方向是从竖直向上顺时针转至无限接近速度的方向的范围内，为了使小球C能做匀速直线运动或匀加速直线运动，则在小球C运动的速度的垂直方向上合力为零，即可以求得恒力的范围．

解答：解：（1）小球P在碰撞前做类平抛运动，竖直方向的加速度
a=

mg+qE

m

=

0.01×10+0.1×0.5

0.01

m/s2=15m/s2
小球P在碰撞瞬间竖直向下的速度为v_y=at=15×0.2m/s=3m/s
所以小球P碰撞瞬间的速度vP=

v 2 0 + v 2 y

=

(3 3 )2+32

m/s=6m/s
（2）小球P与A在D点正碰，小球P此时的速度与水平方向的夹角为θ，连接小球A的绳子与竖直方向的夹角也为θ．tanθ=

vy

v0

=

3

3 3

=

3

3

则θ=30°
对A球从开始运动至D点的过程，由动能定理得mglcosθ=

1

2

m

v

2 A

解得vA=

2glcosθ

=3m/s
P与A球迎面正碰并粘在一起成为小球C，根据动量守恒定律有
    mv_P-mv_A=2mv_C
解得：v_C=1.5m/s
小球C经过路程s后到达夹板，此时速度变为0，表明小球C一定做匀减速直线运动，其运动速度与受力示意图如右图所示．
由运动学公式得：
a=

vC2

2s

=12.5m/s²
设恒力F与竖直方向的夹角为α，建立如图所示的坐标系，根据牛顿第二定律得：
在x轴上（沿加速度方向）：Fcos（90°-α-θ）-（2mg+qE）sinθ=2ma
在y轴上：Fsin（90°-α-θ）-（2mg+qE）cosθ=0
由以上二式联立并代入数据得：
F=

3

4

N，α=30°
（3）平板足够大，且在D点下方任意改变平板位置，那则可以将平板放置到无限远，但根据题意也要发生正碰（垂直打在板上），则小球C必须匀速或匀加速运动．故恒力F′的方向是从竖直向上顺时针转至无限接近速度的方向的范围内，设恒力F′与竖直方向的夹角为β，则有
0°≤β＜120°
为了使小球C能做匀速直线运动或匀加速直线运动，则在小球C运动的速度的垂直方向上合力为零，有F'cos（θ-β）=（2mg+qE）cosθ
解得F=

3

8cos(30°-β)

(其中0°≤β＜120°)．
答：（1）求碰撞前瞬间小球P的速度为；（2）所加的恒力为

3

4

N方向与竖直方向夹角为30°；（3）恒力满足的条件为F=

3

8cos(30°-β)

(其中0°≤β＜120°)．

点评：该题涉及的知识点很多，结合了平抛运动的基本规律、运动的合成与分解、动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律的应用等相关知识，难度比较大，对同学们的综合能力要求比较高，属于难题．