Question

9．设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r，太阳半径Rs和地球半径R三者均减小为现在的1%，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的作用力，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将为1年．

Answer 1

分析 地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，万有引力提供向心力，计算地球的公转周期，太阳的质量等于密度乘以太阳的体积，代入化简，根据表达式和题中数据讨论地球的公转周期的变化．

解答 解：根据万有引力定律，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
又因为M=ρV=$ρ•\frac{4}{3}π{{R}_{s}}^{3}$，解得T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}•\frac{{r}^{3}}{{{R}_{s}}^{3}}}$，
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1%时，地球公转周期不变．仍然为1年．
故答案为：1．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，本题的关键得出周期的表达式，从而分析判断．