Question

如图，水平地面上方被竖直线MN分隔成两部分，M点左侧地面粗糙，与B球间的动摩擦因数为μ=0.5，右侧光滑．MN右侧空间有一范围足够大的匀强电场，在O点用长为R=5m的轻质绝缘细绳，拴一个质量m_A=0.04kg，带电量为q=+2×10^-4C的小球A，在竖直平面内以v=10m/s的速度做顺时针匀速圆周运动，小球A运动到最低点时与地面刚好不接触．处于原长的弹簧左端连在墙上，右端与不带电的小球B接触但不粘连，B球的质量m_B=0.02kg，此时B球刚好位于M点．现用水平向左的推力将B球缓慢推至P点（弹簧仍在弹性限度内），MP之间的距离为L=10cm，推力所做的功是W=0.27J，当撤去推力后，B球沿地面向右滑动恰好能和A球在最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C均可视为质点），速度大小变为5m/s，方向向左；碰撞前后电荷量保持不变，碰后瞬间立即把匀强电场的场强大小变为E=6×10³N/C，电场方向不变，求：
（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小和方向；
（2）弹簧具有的最大弹性势能；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小．（取g=10m/s²）

Answer 1

（1）要使小球在竖直平面内做匀速圆周运动，必须满足：
F_电=Eq=m_Ag
所以：E=

mAg

q

=2×10³N/C
方向竖直向上
（2）由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能为：E_p=W-μm_Bgl=0.26J
（3）设小球B运动到M点时速度为v_B，由功能关系得：
E_P-μm_BgL=

1

2

m_B

v

2B

解得：v_B=5m/s
两球碰后结合为C，设C的速度为v₁，由动量守恒定律得：
m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
电场变化后，因E'q-m_Cg=0.6N
m_c

v 21

R

=0.3N
m_c

v 21

R

＜（E′q-m_cg）


所以C不做圆周运动，而做类似平抛运动，设经过时间t绳子在Q出绷紧，由运动学规律得到：
x=v₁t         y=

1

2

at2
a=

Eq-mcg

mc

       x²+（R-y）²=R²
可得：t=1s           
v_y=at=10m/s           
x=y=r=5m
即：绳子绷紧时恰好位于水平位置，水平方向速度变为零，以竖直分速度v_y开始做圆周运动；
设到最高点时速度为v₂，由动能定理得：

1

2

mc

v

22

-

1

2

mc

v

21

=EqR-mcgR
解得v₂=10

2

m/s
最高点，由牛顿运动定律得：T+mcg=qE=mc

v 22

R

解得：T=3N
答：（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小为2×10³N/C，方向竖直向上；
（2）弹簧具有的最大弹性势能为0.26J；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小为3N．