题目内容

如图为“S”字形玩具轨道,该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖直平面内,轨道弯曲部分由两个半径相等的半圆连接而成,圆半径比细管内径大得多,轨道底端与水平地面相切,某弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点以速度v0水平弹射向b点并进入轨道,经过轨道后从p点水平抛出,已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2,不计其他机械能损失,ab段长L=1.25m,圆的半径R=0.1m,小球质量m=0.01kg,轨道质量为m′=0.15kg,g=10m/s2,求:

(1)若v0=5m/s,小球从p点抛出后的水平射程.

(2)若v0=5m/s,小球经过轨道的最高点时,管道对小球作用力的大小和方向.

(3)设小球进入轨道之前,轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力,当v0至少为多少时,轨道对地面的压力会为零,并指出此时小球的位置.

 

(1)s=0.98m

(2)F=1.1N  方向竖直向下

(3)v0=5m/s

解析:(1)设小球运动到p点的速度大小为v,对小球由a点运动到p点的过程应用动能定理得

μmgL-4Rmgmv2mv02

小球自p点做平抛运动,设运动时间为t,水平射程为s,则:

4Rgt2

svt

联立代入数据解得

s=0.98m

(2)设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F,取竖直向下为正方向

Fmg

联立代入数据解得

F=1.1N

方向竖直向下

(3)分析可知,要使小球以最小速度v0开始运动,且轨道对地面的压力为零,则小球的位置应该在“S”字形轨道的中间位置

则有:

F′+mg

F′=mg

μmgL-2mgRmv12mv02

解得:v0=5m/s

 

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