Question

如图所示，两互相平行的水平金属导轨MN、PQ放在竖直平面内，相距为L=0.4cm，左端接平行板电容器，板间距离为d=0.2m，右端接滑动变阻器R（R的最大阻值为Ω），整个空间有水平匀强磁场，磁感应强度为B=10T，方向垂直于导轨所在平面．导体棒CD与导轨接触良好，棒的电阻为r=1Ω，其它电阻及摩擦均不计，现对导体棒施加与导轨平行的大小为F=2N的恒力作用，使棒从静止开始运动，取g=10m/s²．求：
（1）当滑动变阻器R接入电路的阻值最大时，拉力的最大功率是多大？
（2）当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于稳定状态时，一带电小球从平行板电容器左侧沿两极板的正中间射入，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头在滑动变阻器最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度入射，在两极间恰能做匀速圆周运动，求圆周的半径是多大？

Answer 1

分析：（1）当导体棒稳定时做匀速直线运动，导体棒处于平衡状态，导体棒受到的安培力与拉力大小相等，求出拉力功率的表达式，然后根据表达式求出拉力功率的最大值．
（2）小球匀速通过极板时做匀速直线运动，对小球受力分析，然后由平衡条件列方程；小球在极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，
由平衡条件及牛顿第二定律列方程，然后解方程组，求出小球的速度与轨道半径．

解答：解：（1）当棒达到匀速运动时，金属棒受到的安培力：
F_B=BIL=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

，
由平衡条件得：F=F_B，即：F=

B2L2v

R+r

，
导体棒的速度v=

F(R+r)

B2L2

，
拉力功率P=Fv=

F2(R+r)

B2L2

可知，回路的总电阻越大时，拉力功率越大，当R=2Ω时，拉力功率最大，最大功率为P_m=0.75W；
（2）当触头滑到中点即R=1Ω时
棒匀速运动的速度v₁=

F(R+r)

B2L2

=0.25m/s
导体棒产生的感应电动势E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1V
电容器两极板间电压U₁=

E1R

R+r

=0.5V，
由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电
此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v₀
由平衡条件知：F+f=G 即 q

U1

d

+qv₀B=mg…①
当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度v₂=

F(R+r)

B2L2

=

3

8

m/s
导体棒产生的感应电动势 E₂=BLv₂=1.5V
电容器两极板间的电压U₂=

E2R

R+r

=1V
由于小球在平行板间做匀速圆周运动
电场力与重力平衡，于是：q

U2

d

=mg…②
代入数值，由①②解得：v₀=

U2-U1

Bd

=0.25m/s
小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

小球作圆周运动的半径为r=0.0125m
答：
（1）导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在两极板间恰好做匀速圆周运动的速度为0.25m/s，做圆周运动的轨道半径为0.0125m．

点评：本题涉及的知识点较多，是电磁感应与电路、与力学相结合的一道综合题，本题难度较大，是一道难题；正确受力分析、分析清楚过程、熟练掌握并灵活应用基础知识是正确解题的关键．