Question

如图18-1，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在墙上，另

一端和质量为M的容器连接，容器放在光滑水平的地面上，
当容器位于O点时弹簧为自然长度，在O点正上方有一滴管，
容器每通过O点一次，就有质量为m的一个液滴落入容器，
开始时弹簧压缩，然后撒去外力使容器围绕O点往复运动， 
求：
小题1:(1)容器中落入n个液滴到落入（n+1）个液滴的时间间  
隔；
小题2:(2)容器中落入n个液滴后，容器偏离O点的最大位移。

Answer 1

小题1:△t =π
小题2:L_n=L₀

本题中求容器内落入n个液滴后偏离O点的最大位移时，若从动量守恒和能量守恒的角度求解，将涉及弹簧弹性势能的定量计算，超出了中学大纲的要求，如果改用动量定理和动量守恒定律求解，则可转换成大纲要求的知识的试题。  
小题1:(1)弹簧振子在做简谐运动过程中，影响其振动周期的因素有振子的质量和恢复系数(对弹簧振子即为弹簧的劲度系数)，本题中恢复系数始终不变，液滴的落入使振子的质量改变，导致其做简谐运动的周期发生变化。
容器中落入n个液滴后振子的质量为（M+nm），以n个液滴落入后到第（n+1）个液滴落入前，这段时间内系统做简谐运动的周期T_n=2π，容器落入n个液滴到（n+1）个液滴的时间间隔△t=T_n /2，所以
△t =π
小题2:(2)将容器从初始位置释放后，振子运动的动量不断变化，动量变化的原因是水平方向上弹簧弹力的冲量引起的，将容器从静止释放至位置O的过程中，容器的动量从零增至p，因容器位于Ｏ点时弹簧为自然长度，液滴在O点处落入容器时，容器和落入的液滴系统在水平方向的合力为零， 根据动量守恒定律，液滴在Ｏ处的落入并不改变系统水平方向的动量，所以振子处从位置O到两侧相应的最大位移处，或从两侧相应在的最大位移处到位置Ｏ的各1/4周期内，虽然周期Ｔ_n和对应的最大位移L_n在不断变化，但动量变化的大小均为△p=p－0=p，根据动量定理可知识，各1/4周期内弹力的冲量大小均相等，即：
F₀(t)·T₀/4 = F_n(t)·T_n/4
其中T₀是从开始释放到第一次到O点的周期，Ｔ₀=2π。T_n是n个液滴落入后到（n+1）个液滴落入容器前振子的周期，T_n=2π。而F₀(t) 和F_n(t)分别为第一个1/4周期内和n个液滴落入后的1/4周期内弹力对时间的平均值，由于在各个1/4周期内振子均做简谐运动，因而弹力随时间均按正弦（或余弦）规律变化，随时间按正弦（或余弦）变化的量在1/4周期内对时间的平均值与最大值之间的关系，可用等效方法求出，矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，从中性而开始计地，产生的感应电动势为ε=ε_msinωt=　NbωSsinωt。ε按正弦规律变化，根据法拉第电磁感应定律ε=N，ε在1/4周期内对时间的平均值ε=2ε_m/π。这一结论对其它正弦（或余弦）变化的量对时间的平均值同样适用，则有
F₀(t)=2kL₀/π，F_n(t)=2kL_n/π
代入前式解得：L_n=L₀