Question

（2005?海门市模拟）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：
（1）推力对小球所做的功．
（2）x取何值时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少？最小功为多少？

Answer 1

分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；

解答：解：（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向?x=v_Ct
竖直方向上2R=

1

2

gt²?，
解①②式有v_C=

x

2

g R

对质点从A到C由动能定理有?W_F-mg?2R=

1

2

mv_C² 
解W_F=

mg(16R2+x2)

8R

 
（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+

1

2

mv_C²知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小，就是物理极值．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有?
mg=

mv2

R

，则v=

Rg

当x=vt=

Rg

×2

R g

=2R时，
W_F最小，最小的功W_F=

5

2

mgR．
答：（1）推力对小球所做的功为

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x取2R时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功为

5

2

mgR．

点评：本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为

gR

，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．